Калькулятор плотности вещества

Перед тобой «золотая» подвеска: весы показывают 8 г, мензурка — объём 0,9 см³. Настоящее золото плотностью 19,32 г/см³ весило бы при таком объёме почти 17,4 г. Делим массу на объём: выходит 8,9 г/см³ — это медь, подвеска позолоченная. Одно деление разоблачает подделку. Калькулятор плотности выше делает этот расчёт вместе с переводом единиц, а ниже разберём, что такое плотность, откуда берётся её формула и как не ошибиться в единицах.

Что такое плотность и из чего она складывается

Плотность — масса единицы объёма: сколько килограммов «упрятано» в каждом кубометре вещества. Формула плотности $\rho =\frac{m}{V}$, в СИ единица кг/м³, в лабораторных задачах удобнее г/см³. У воды плотность 1000 кг/м³, то есть 1 г/см³: литровая бутылка тянет ровно на килограмм. У алюминия 2700 кг/м³, у свинца 11340 кг/м³ — три одинаковых на вид кубика из этих металлов отличаются по массе больше чем в четыре раза.

Откуда берётся разница? Из двух причин: массы атомов и плотности их упаковки. Свинец собран из тяжёлых атомов (атомная масса 207), алюминий — из лёгких (27), упаковка у обоих плотная, поэтому разница плотностей почти повторяет разницу атомных масс. Плотность — визитная карточка вещества: по ней опознают материал, как по отпечатку пальцев. Именно так работают испытатели сплавов и геологи с образцами руд.

На практике массу дают весы, а объём добывают по-разному. Для кирпича или бруска хватит линейки: перемножь длину, ширину и высоту. Для тела любой формы — мензурка: опустил в воду, посмотрел, на сколько поднялся уровень. Для крупных предметов есть отливной сосуд: наливаешь доверху, опускаешь тело, собираешь вытесненную воду — её объём и равен объёму тела. Этим способом и пользовались во времена Архимеда.

Формула и треугольник: три задачи одним приёмом

Плотность, масса и объём связаны жёстко: знаешь любые две величины — найдёшь третью. Помогает треугольник-мнемоника: сверху m, снизу ρ и V. Закрываешь пальцем искомую величину — читаешь формулу: закрыл m — осталось $\rho \cdot V$; закрыл ρ — осталось $\frac{m}{V}$; закрыл V — $\frac{m}{\rho }$. Один треугольник заменяет три заученные формулы.

1. Выпиши, что дано: массу, объём или плотность — и в каких единицах.
2. Приведи всё к одной системе: кг и м³ или г и см³.
3. Выбери форму формулы по треугольнику — что закрыто, то и ищешь.
4. Посчитай и проверь размерность ответа.
5. Сверь результат с таблицей: реалистична ли такая плотность?

Быстрая прикидка по воде: у воды 1 г/см³, поэтому объём в см³ равен массе в граммах — 250 см³ воды весят 250 г. Всё, что легче воды, плавает; всё, что тяжелее, тонет. Этой опорной точки хватает для половины задач 7 класса. Для остальных — справочная таблица плотностей веществ: она даётся в задачниках, но несколько опорных значений стоит помнить наизусть.

И одно личное измерение: тело человека по плотности близко к воде. На полном вдохе средняя плотность падает ниже 1000 кг/м³ — и тебя держит на поверхности, на выдохе поднимается чуть выше — и ноги начинает тянуть вниз. Так что «я тону, а другие плавают» — чаще всего вопрос физики дыхания, а не стройности. Плыви на вдохе, и формула $\rho =\frac{m}{V}$ сработает на тебя.

В таблице нет воздуха — а он тоже вещество: у земли его плотность 1,3 кг/м³. Кажется, что это ничто, но воздух в комнате 3 × 4 × 2,7 м весит около 42 кг — больше, чем взрослый человек. У бетона 2200–2500 кг/м³, у нефти около 800, у ртути 13600 — ртуть тяжелее железа, поэтому железный гвоздь в ней плавает. Чем шире таблица перед глазами, тем быстрее решаются задачи: половина ответов в них — просто «посмотри и сравни».

Почему лёд плавает: 917 против 1000

При замерзании вода строит кристаллическую решётку, где молекулы держатся на большем расстоянии, чем в жидкой воде, — поэтому лёд разреженнее: 917 кг/м³ против 1000. Тела с плотностью меньше плотности воды плавают: лёд погружён на 91,7%, и над поверхностью остаётся 8,3% объёма — примерно десятая часть. Отсюда и знаменитая опасность айсбергов: над водой — меньше десятой части горы, а всё остальное — подводная масса.

Про среднюю плотность: судно из стали (7874 кг/м³) не тонет, потому что корпус полый — внутри воздух. Средняя плотность корабля — вся масса, делённая на весь объём с трюмами, — меньше 1000 кг/м³. Этот принцип сработал ещё у Архимеда: царь Гиерон подозревал, что мастер спрятал в золотую корону серебро. Архимед измерил объём короны по вытесненной воде и сравнил плотность с чистым золотом 19320 кг/м³: у короны она оказалась заметно ниже, потому что серебро плотностью 10500 кг/м³ занимает больше места при той же массе. Корона оказалась с примесью — плотность уличила мастера.

Задачи про полые тела решаются сравнением: посчитай плотность тела как m/V и сопоставь с табличной. Стальной шар весит 780 г при объёме 150 см³: делим — выходит 5,2 г/см³, а у сплошной стали 7,874. Значит, внутри полость. Если бы вышло ровно 7,874 — шар сплошной. Тот же приём отличает настоящий самородок от подделки: подмешал более лёгкий металл — средняя плотность просела.

Средняя плотность работает и в космосе. У Земли она 5515 кг/м³ — среднее между лёгкой корой и железным ядром. Сатурн собран в основном из газа: его средняя плотность 687 кг/м³, меньше плотности воды, — отсюда знаменитая задача «Сатурн плавал бы в океане». По средней плотности планет и спутников астрономы угадывают их состав ещё до всяких посадок зондов.

Где плотность решает задачи

Инженеры подбирают материалы по плотности: авиация и космос живут правилом «каждый грамм на счету», поэтому там царят алюминий, титан и композиты. В строительстве плотность бетона и утеплителей определяет прочность и теплопроводность. В медицине денситометрия измеряет плотность костной ткани и ловит остеопороз до первого перелома. Геологи отличают самородное золото от пирита — «золота дураков» — простым взвешиванием: у пирита около 5000 кг/м³, у золота 19320.

Плотность жидкостей измеряют на производстве прибором-ареометром: он плавает в жидкости и показывает, насколько она плотнее воды. Молоко с плотностью 1027–1032 кг/м³ — нормальное, разбавленное водой проседает; плотность сиропа выдаёт сахаристость сока; на нефтебазах по плотности проверяют сорт топлива. Простой стеклянный поплавок защищает миллиардные контракты — потому что плотность не подделаешь.

Калькулятор выше считает в три стороны: плотность из массы и объёма, массу из плотности и объёма, объём из массы и плотности — переключайся кнопками и подставляй числа своей задачи. Он сам переводит граммы, килограммы, литры и кубометры и сверяет результат с таблицей плотностей. Дальше закрепи тему на уроках про плотность вещества и архимедову силу: там плавание тел разбирается уже через силы, а не только через таблицу.