Калькулятор сложного процента

Задача: положил на вклад 20 000 рублей под 10% годовых на три года. Вариант первый — простой процент: каждый год банк начисляет 10% от исходной суммы, то есть ровно 2000 рублей, и через три года на счёте лежит 26 000. Вариант второй — сложный процент: начисленные деньги прибавляются ко вкладу, и следующий процент считается уже с новой суммы. Тогда первый год приносит 2000, второй — 2200 (это 10% уже от 22 000), третий — 2420 (от 24 200), и итог равен 26 620. Дополнительные 620 рублей — это «проценты на проценты»: сами проценты начали зарабатывать проценты. На коротком сроке разница копеечная, на длинном — огромная, поэтому ниже разберём формулу, ловушки и быстрые приёмы.

Формула сложного процента

Ключ к расчёту — множитель роста. Рост на 10% означает умножение на 1,1, рост на $p$ процентов — умножение на долю $1+\frac{p}{100}$. Каждый год этот множитель применяется к новой сумме, поэтому итоговая сумма получается возведением множителя в степень $n$. Если исходный вклад равен $S$, а итог — $A$, то:

В банковских документах та же формула записывается через ставку-долю: обозначают $i=\frac{p}{100}$ — это годовая ставка в долях единицы (10% превращаются в 0,1) — и пишут $A=S(1+i{)}^n$. Смысл не меняется: множитель $(1+i)$ применяется $n$ раз. Быстрая проверка: 1000 рублей под 10% на два года дают $1000\cdot 1,1^2=1210$, а не 1200, как вышел бы простой процент. Эти десять рублей разницы и есть сложный процент, заработавший во второй год.

Формула сложного процента — частный случай геометрической прогрессии: сумма на счёте образует ряд 20 000, 22 000, 24 200, 26 620, где каждый член получается из предыдущего умножением на знаменатель $q=1+\frac{p}{100}$. Поэтому все приёмы прогрессий переносятся на деньги: зная первый член и знаменатель, находишь любой год без перебора, а зная два члена ряда, восстанавливаешь ставку. Если на уроках прогрессий формулы казались абстракцией, здесь они превращаются в банковскую выписку.

Расчёт по годам: откуда берётся степень

Чтобы формула не была магией, пройдём по годам руками на том же вкладе 20 000 под 10%:

Обрати внимание на множитель 1,331: это $1,1^3$, и он же — суммарный рост 33,1%, хотя неопытные складывают три раза по 10% и получают 30%. Разница в 3,1 процентного пункта за три года — уже заметные деньги, а со временем разрыв только растёт.

В колонках таблицы — доход каждого года. Накопленный итог после пяти лет: при простом проценте на счёте 30 000 (пять одинаковых прибавок по 2000), при сложном — 32 210,2. Разница 2210,2 рубля появилась без дополнительных вложений: проценты реинвестировались. Заметь, доход сложного процента каждый год растёт на 10% от собственного прошлого значения — это геометрическая прогрессия со знаменателем 1,1: 2000, 2200, 2420, 2662, 2928,2.

Правило 72: срок удвоения вклада

Правило 72 — приём банковских консультантов: раздели 72 на годовой процент, получишь число лет, за которое вклад удвоится. Под 8% — 9 лет, под 12% — 6 лет, под 10% — 7,2 года. Число происходит из уравнения удвоения: множитель ${\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n$ должен стать равен двум, откуда точное значение $n=\frac{\ln 2}{\ln (1+p/100)}$. Для небольших ставок логарифм в знаменателе ведёт себя почти линейно, и константа выходит около 69; финансисты берут 72, потому что оно делится на 2, 3, 4, 6, 8, 9 и 12 — считать в уме удобно.

Сравни приём с точностью. Под 10% правило обещает 7,2 года, точный расчёт даёт 7,27 года — ошибка меньше двух недель. Под 5%: 14,4 против 14,2. А вот под 36% приём врёт уже заметно: обещает 2 года, на деле нужно 2,25. Вывод: для ставок от 4 до 12 процентов правило 72 отлично подходит для разговорной прикидки, в решении задачи — только точная формула.

То же правило работает и в минус: при инфляции 7% в год деньги, лежащие без движения, теряют половину покупательной способности примерно за 10 лет (72 : 7). Поэтому вклад под ставку ниже инфляции не сохраняет сбережения, а медленно съедает их — любую доходность стоит сравнивать с этим ориентиром.

Ежемесячная капитализация и эффективная ставка

Банки чаще капитализируют не раз в год, а каждый месяц. Тогда годовая ставка делится на 12, а срок считается в месяцах: $A=S\cdot {\left(1+\frac{p}{1200}\right)}^m$, где $m$ — число месяцев. Вклад 20 000 под 10% с ежемесячной капитализацией за год вырастет до $20000\cdot 1,00833^{12}\approx 22094$ — на 94 рубля больше, чем при годовой, хотя номинальная ставка та же. Эффективная ставка описывает это честно: она показывает, сколько процентов годовых дал бы вклад с начислением раз в год, чтобы достичь того же итога. У ежемесячной капитализации 10% номинальных соответствуют примерно 10,47% эффективных, и именно эффективную ставку банк обязан раскрывать в договоре.

Период капитализации бывает разным: год, полгода, квартал, месяц, день. Правило общее: дели годовую ставку на число периодов в году и возводи в общее число периодов за весь срок. Квартальная капитализация под 10% — это 2,5% четыре раза в год, эффективная ставка выходит около 10,38%; ежедневная даёт около 10,51%. Чем чаще начисление, тем выше итог, но прирост от учащения быстро выдыхается: переход с годовой на месячную добавляет около 0,47 процентного пункта, а с месячной на ежедневную — лишь сотые доли.

Капитализация процентов#

Прибавление начисленных процентов к сумме вклада: следующий процент считается уже с выросшей суммы.

Номинальная ставка#

Годовой процент из договора; при ежемесячной капитализации делится на 12 и начисляется каждый месяц.

Эффективная ставка#

Годовая доходность с учётом капитализации; всегда не меньше номинальной, а при частых начислениях заметно больше.

Простой процент#

Схема без капитализации: доход каждый год одинаковый, считается только от исходной суммы.

Правило 72#

Прикидка срока удвоения вклада: 72, делённые на годовой процент, дают число лет.

Сложный процент в ЕГЭ и в жизни

В заданиях ЕГЭ про вклады и кредиты первая проверка — тип процента. «На вклад ежегодно начисляются проценты, которые прибавляются к сумме» — это сложный, работаем со степенью. «Проценты выплачиваются на отдельный счёт, вклад не меняется» — простой, доход одинаков каждый год. Второй частый сюжет — меняющаяся ставка: два года по 10%, затем год под 5% дают множитель $1,1\cdot 1,1\cdot 1,05=1,2705$ — проценты перемножаются, а не складываются, и рост составляет 27,05%, а не 25%.

За пределами экзамена сложный процент управляет всеми долгими деньгами. Вклады и облигации с реинвестированием купонов растут по этой формуле, а ипотека и кредитка — против заёмщика: банк капитализирует долг. Разница между схемами на вкладе 20 000 под 10% за три года — всего 620 рублей, но за 30 лет картина иная: простой процент даёт на счёте 80 000, сложный — почти 349 000. Математику этого роста описывает геометрическая прогрессия, а человеческая интуиция, привыкшая к прямым линиям, систематически её недооценивает.

Обратная задача встречается чаще, чем кажется: копишь к восемнадцатилетию ребёнка, к первому взносу по ипотеке, к отпуску через три года. Цель задана суммой, горизонт известен, неизвестна ставка — именно её находит второй режим калькулятора. Если ставка вышла нереально высокой, план стоит менять не ставкой, а суммой или сроком: степень прощает мало.

Калькулятор выше закрывает три типовых вопроса. Режим «Итог вклада» считает конечную сумму и заработок по формуле со степенью. Режим «Какая ставка нужна» решает обратную задачу: под какой годовой процент сумма $S$ превратится в $A$ за $n$ лет. Режим «Через сколько удвоится» показывает и прикидку по правилу 72, и точный срок через логарифм. Введи числа своей задачи и сверь шаги решения с ручным расчётом.