Проценты: сложные задачи через пропорцию

Куртка стоила 4800 рублей. На кассе объявляют скидку 25%, а по карте магазина — ещё 10% сверху. Продавец быстро считает: «25 плюс 10 — минус 35 процентов, с вас 3120». Удобно, но так ли складываются скидки? Через пропорцию ты посчитаешь честно за минуту — и увидишь, куда на самом деле уходит разница.

Пропорция решает любой процент

Любая задача на проценты — это пропорция: всё число принимаем за 100%, дальше крест-накрест. Сколько составляют 25% от 4800 рублей? Составляем: $x=\frac{4800\cdot 25}{100}=1200$ рублей. А сколько процентов составляют 18 рублей от 60? Та же схема, только неизвестно число процентов: $x=\frac{18\cdot 100}{60}=30\%$. Третий тип — найти число по его проценту: 15% от зарплаты составили 900 рублей, ищем всю зарплату: $x=\frac{900\cdot 100}{15}=6000$ рублей. Один шаблон — три типа задач, меняется только место неизвестного.

В банке кофе осталось 40%, и ты тратишь по 5% содержимого на заварку, дважды в день. За неделю уйдёт 5 · 2 · 7 = 70% — не хватит, закончится ещё в середине недели. Держи в голове опоры: 10% — десятая часть, 25% — четверть, 50% — половина, и половина калькуляторных расчётов исчезает из жизни.

Проценты в чеке и на ценнике

Достань последний чек из магазина — проценты прячутся в каждой его строке. Наушники стоили 3400 рублей, на кассе сняли 25%: экономия 3400 · 25 : 100 = 850, к оплате 2550. На эту покупку начислили кэшбэк 5% — это возврат от уже уплаченной суммы: 2550 · 5 : 100 = 127,5, банк округлит до 128 рублей. Три строки чека — три разные базы: старая цена для скидки, новая цена для кэшбэка. Кто путает базы, тот и деньги теряет.

А теперь налог. В России НДС составляет 20%, и он уже сидит внутри ценника: товар за 1200 рублей содержит 200 рублей налога. Почему всего 200, а не 240? Потому что продавец считал 20% не от 1200, а от своей цены без налога — 1000 рублей, и добавил налог сверху: 1000 + 200 = 1200. База снова другая — и это нормально, главное понимать, от чего именно считают проценты.

Дороже и дешевле: считаем изменение цены

Молоко стоило 80 рублей, а стало 92: разница 12 рублей, и это 12 · 100 : 80 = 15% подорожания. Летом цена вернулась к 80: разница те же 12 рублей, но база теперь 92, поэтому удешевление равно 12 · 100 : 92 ≈ 13%. Заметь: вверх на 15%, а вниз только на 13% — хотя рубли одни и те же. Проценты считают от той цены, с которой началось изменение, поэтому равные рубли дают неравные проценты.

Прогоним ещё раз на соке: стоил 120, подорожал до 150, потом снова 120. Вверх: 30 рублей от 120 — это 25%. Вниз: 30 рублей от 150 — это 20%. Цена вернулась, а проценты по пути получились разными. На контрольной такой вопрос звучит как «цена выросла на 25%, а потом упала на 20% — изменилась ли она?» Правильный ответ: вернулась к исходной, но проверить это можно только по шагам, через базу.

А если цена выросла дважды — сначала на 5%, потом на 7%? Общий рост не 12%. От 2000 рублей получаем 2100, затем 2100 · 7 : 100 = 147, итого 2247. Рост составил 247 рублей, а это 247 · 100 : 2000 = 12,35%. Каждый процент садится на свою базу, поэтому итоговая цена всегда чуть больше, чем обещает сложение процентов.

Опорные проценты: считай в уме

Половина процентов решается без пропорции, если помнить опоры. 10% — деление на 10: от 450 это 45. 20% — пятая часть: от 150 это 30. 25% — четверть: от 84 это 21. 5% — половина от 10%: от 600 это 30. 75% — три четверти: от 400 это 300. 12,5% — восьмая часть: от 800 это 100. Любой сложный процент собирается из опорных: 35% — это 25% плюс 10%, от 2000 выходит 500 + 200 = 700.

• 50% — половина числа: дели на 2
• 25% — четверть: дели на 4
• 10% — десятая часть: дели на 10
• 5% — половина от десятой части
• 20% — пятая часть: дели на 5

Перед записью пропорции прикинь ответ грубо: 18% от 60 должно получиться заметно меньше 60 — это примерно пятая часть. Если в ответе вышло 1080, где-то потерялась запятая у деления на 100. Прикидка занимает три секунды и отлавливает ошибки ещё до того, как ты перепишешь ответ в чистовик.

Разбор типовой задачи

Задача из контрольной: кроссовки стоили 3200 рублей. Цену сначала повысили на 10%, а во время распродажи снизили на 10%. Сколько стоят кроссовки теперь и на сколько процентов изменилась первоначальная цена?

Ответ: 3168 рублей, дороже на 1%. Два равных процента в разные стороны не гасят друг друга, потому что второй процент считается от выросшей цены. Запомни приём «каждый шаг от текущей цены» — он же работает для скидки на скидку из начала урока.

Словарь урока

Пропорция#

равенство двух отношений; в процентах всё число относится к 100, как часть к своим процентам

База#

число, принятое за 100%: обычно цена до скидки или до подорожания

Крест-накрест#

правило пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних

Скидка#

процент, на который уменьшают текущую цену

Кэшбэк#

возврат части потраченной суммы — процент, но от уже уплаченного

Первоначальная цена#

цена до всех изменений; с неё начинают любую цепочку процентов

Как это спрашивают на контрольной

• «Найди 18% от 60» — тип «процент от числа», одна пропорция
• «Сколько процентов составляет 18 от 60?» — ищем число процентов: часть делим на целое
• «15% зарплаты — это 900 рублей. Какова зарплата?» — ищем всё число по его части
• «Цена выросла на 20%, потом упала на 20%. Изменилась ли она?» — считаем по шагам, база меняется
• «Скидки 25% и 10% подряд» — перемножай множители, а не складывай проценты

Как определить тип задачи: найди, что дано целиком, а что является частью. Целое известно и есть проценты — ищи часть. Часть и целое даны — ищи проценты. Известна только часть и её проценты — восстанавливай целое. В ответе проверяй правдоподобие: скидка не может увеличить цену, а 25% от числа обязаны быть меньше самого числа.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема