Положительные и отрицательные числа. Координатная прямая
Мороз на табло, лифт в подвал и долг другу — там, где числа уходят ниже нуля, начинается координатная прямая. Учимся расставлять и сравнивать числа с минусами.
Ночью на уличном табло было −12°, к обеду синоптики обещают потепление на 7 градусов. Какое число появится на табло? Обычное «12 + 7» здесь не работает: числа ушли ниже нуля, появился минус. Отрицательные числа нужны всюду, где есть «ниже нуля»: мороз, подвал лифта, глубина моря, долг в копилке. Сейчас расставим их по местам — на координатной прямой.
Координатная прямая: термометр, положенный набок
Возьми прямую и отметь на ней точку 0 — точку отсчёта. Числа справа — положительные, пишут их обычно без плюса: 1, 4, 18. Слева — отрицательные, с минусом: −3, −9. Получилась координатная прямая, похожая на термометр, который положили набок. Правило сравнения одно-единственное: чем правее число, тем оно больше. Лифт показывает это наглядно: земля — 0, четвёртый этаж — +4, подвал на два этажа ниже — −2. Долг 500 рублей — это −500. Проверка на первый взгляд: −1 лежит правее −8, значит −1 больше, хоть и выглядит «меньше».
Знак — не украшение, а половина информации. Числа 6 и +6 означают одно и то же: шесть градусов тепла, плюс обычно не пишут. А −6 — совсем другое число: шесть градусов мороза. Пару 6 и −6 называют противоположными числами: они отличаются только знаком и сидят на прямой на одинаковом расстоянии от нуля, но по разные стороны. Знак всегда согласуется с жизнью: подъём — плюс, спуск — минус; прибыль — плюс, расход — минус; выигранное очко — плюс, штрафное — минус. Проговори для любого числа, что оно значит, — и минусы перестанут путаться.
Чтобы отмечать числа точно, договорись о единичном отрезке — одной клетке или одном сантиметре. Для 4 откладывай четыре деления вправо от нуля, для −3 — три деления влево. Между целыми числами умещаются и дробные: середина между 0 и 1 — это 0,5, а середина между 0 и −1 — это −0,5. Прямая непрерывна: между любыми двумя её числами найдётся ещё одно, поэтому отмечать можно и обыкновенные, и десятичные дроби.
| Ситуация | Ноль — это | Число ниже нуля — это |
|---|---|---|
| температура | 0° — таяние льда | −12° — двенадцать градусов мороза |
| этажи дома | уровень земли | −2 — второй этаж подвала |
| деньги | нулевой капитал | −500 — долг в пятьсот рублей |
| глубина | уровень воды | −100 м — сто метров ниже поверхности |
Сравнение чисел на прямой
Из правила «кто правее» следуют три случая. Любое положительное число больше любого отрицательного и больше нуля: 4 > 0 > −7. Из двух отрицательных больше то, что ближе к нулю: −3 больше −15. Из двух положительных больше то, что правее, — тут всё как раньше. Цепочка для разминки: −15 < −9 < −3 < 0 < 4. Отдельные случаи заучивать не нужно — всегда выручает рисунок прямой.
Шкала высот и глубин привязана к уровню океана. Эльбрус поднимается на 5642 метра — это отметка +5642. Дно Байкала лежит на 1642 метра ниже уровня океана — отметка −1642. Глубже — значит меньше: −1642 < +5642, ведь всякое отрицательное число левее всякого положительного. Сравнивая глубины Чёрного моря (−2212 метров) и Байкала (−1642 метра), смотрим, кто дальше от нуля влево: −2212 меньше. Самая большая глубина на шкале — самое маленькое число.
- Рисуем прямую, отмечаем ноль и единичный отрезок.
- Идём влево на 12 делений — ставим точку −12.
- Идём влево на 7 делений — точка −7 стоит правее.
- Правее — значит больше: −7 больше −12.
Записывай сравнение аккуратно: знак «меньше» острым концом смотрит на меньшее число. Пара −12 < −7 читается «минус двенадцать меньше минус семи», а перевёрнутая запись −7 > −12 — «минус семь больше минус двенадцати». Обе верные, выбирай любую: знак неравенства можно перевернуть, поменяв стороны местами. В тетради встречается и двойное неравенство: −9 < −5 < 2 — так показывают, что −5 зажато между соседями.
В понедельник на табло −7°, во вторник обещают −3°, а в среду снова −9°. Какой из дней тебе покажется самым холодным на глаз? Глаз обманывается: холоднее всего в среду, потому что −9 лежит левее всех на прямой. Температура — самый наглядный тренажёр для минусов: морозилка −18°, погреб −4°, тёплый пол +28°.
Ноль на прямой — не «ничего», а полноценная отметка: уровень земли, ноль градусов, нулевой капитал. Всё, что выше, теплее или богаче нуля, — положительные числа; всё, что ниже, холоднее или в долгах, — отрицательные. Поэтому ноль нельзя записать ни со знаком плюс, ни со знаком минус: он граница и начало отсчёта. Надпись «0°» на табло — не сломанный термометр, а точка таяния льда, вполне себе погода.
Полезно читать запись «−12°» двумя способами. Первый: двенадцать градусов мороза — состояние погоды. Второй: изменение на минус 12 градусов — например, температура упала с 5° до −7°, изменившись на −12. В отчётах минус перед числом часто означает именно изменение: доход семьи изменился на −500 рублей, счёт команды — на −3 очка. Минус показывает направление сдвига от нуля, а вовсе не «плохость» числа.
| Пара | Больше | Почему |
|---|---|---|
| 5 и −20 | 5 | положительное всегда правее отрицательного |
| 0 и −4 | 0 | ноль правее всех чисел с минусом |
| −6 и −9 | −6 | −6 ближе к нулю, значит правее |
| −11 и −7 | −7 | −7 стоит правее на прямой |
| −3 и 3 | 3 | противоположные числа: положительное из пары больше |
Где живут отрицательные числа
Отрицательные числа придумали не для школьной программы, а для расчётов. Китайские математики больше двух тысяч лет назад решали задачи про урожай и долги: вычитаемые величины обозначали чёрными счётными палочками, а прибавляемые — красными. По сути, это были первые числа левее нуля. В Европе к минусам долго относились с подозрением и даже называли их абсурдными — и лишь к XVII веку они прочно заняли место на прямой. Сегодня без них не обходится ни прогноз погоды, ни банковская выписка.
- погода: мороз на табло и в прогнозе синоптиков
- лифты: подвалы и минусовые этажи торговых центров
- деньги: долг, кредит, перерасход семейного бюджета
- география: глубины морей и впадин ниже уровня океана
- история: годы до нашей эры стоят на шкале времени левее нуля
Шкала времени — та же координатная прямая, где роль нуля играет начало нашей эры. Событие «200 лет до нашей эры» стоит левее нуля, как −200, а «500 год нашей эры» — правее, как +500. Чем древнее событие, тем левее оно на шкале: 100 год до нашей эры древнее 50 года до нашей эры, и на прямой −100 стоит левее −50. Одно правило «кто правее — тот больше» описывает и мороз, и глубину, и века. Такая лента времени висит в музеях и учебниках истории — теперь ты знаешь, как её читать.
Даже спортивные таблицы живут на координатной прямой. Команда забила 2 шайбы, а пропустила 5 — разница равна 2 − 5 = −3. По этой разнице сортируют команды в турнирной таблице: чем она больше, тем выше место. Три очка со знаком минус говорят точнее длинной фразы: «пропустил на три больше, чем забил». Знак плюс-минус сжимает целое предложение в одно число.
- Координатная прямая#
- прямая с выбранным началом отсчёта, направлением и единичным отрезком
- Положительное число#
- число правее нуля; записывают со знаком плюс или без знака
- Отрицательное число#
- число левее нуля, всегда со знаком минус
- Противоположные числа#
- числа, отличающиеся только знаком: 6 и −6
Проверь себя
Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»
1 Какое из чисел больше: −2 или −9? Запиши большее число.
2 Ноль — положительное число.
3 Лифт спустился с уровня земли на 4 этажа в подвал, а потом ещё на 2 вниз. Какая координата у лифта?
4 Расставь числа по возрастанию: 3, −5, 0, −1.
5 Было −6°, температура поднялась на 4°. Сколько градусов на табло?
6 Разложи величины по категориям: с каким знаком они записываются на прямой?
Разложи элементы по категориям: нажми на элемент, потом на категорию.
7 Дополни.
Выбери подходящее слово в каждом пропуске.
На координатной прямой числа растут направо, а ноль отделяет положительные числа от .
Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.
Частые вопросы
Почему −7 меньше −3, хотя 7 больше 3?
Минус переворачивает логику: чем дальше число от нуля влево, тем оно меньше. −7 на прямой левее −3, а «больше» всегда значит «правее».
Ноль — положительный или отрицательный?
Ни тот, ни другой: ноль — граница между ними. Сравнивается он просто: любое отрицательное число меньше нуля, любое положительное больше.
Где отрицательные числа встречаются в жизни?
Температура ниже нуля, этажи подвала, глубины морей, долги и переплаты — везде, где нужно считать «в обратную сторону» от нулевой отметки. Увидел минус — ищи рядом ноль, от которого ведётся отсчёт. Прямая с минусами — просто удобный язык для таких ситуаций.
Как отмечать на координатной прямой дробные числа?
Так же, как целые, — откладывая части единичного отрезка. Точка 0,5 стоит посередине между 0 и 1, а −1,5 — посередине между −1 и −2. Обыкновенную дробь отмечают по знаменателю: чтобы поставить , делят отрезок от нуля до единицы на 4 части и берут три.