10 XP
ЕГЭ · Математика (база) · задание 81 балл · ≈5 мин

Задание 8 ЕГЭ: Анализ утверждений и логика

Здесь нет вычислений на полстраницы — зато есть текст, который нужно читать медленно. Дана житейская ситуация: кружки, туристы, лифты — и несколько утверждений о ней. Твоя задача — понять, какие из них верны обязательно, а какие лишь могут быть. Помогают два приёма: принцип Дирихле для пересечения групп и проверка утверждения конкретным примером.

Все задания Математика (база)

Что проверяет задание

Логические задачи. Это задание с коротким ответом, который проверяется автоматически. Одна арифметическая ошибка — ноль баллов, поэтому скорость и аккуратность здесь важнее гениальности.

Формулы к заданию

если сумма двух групп больше общего числа N, пересечение точно есть
наименьшее возможное число элементов в пересечении двух групп

Разбор типовых задач

Пример 1

В классе 20 учеников. Из них 13 ходят на кружок по истории, а 10 — на кружок по математике. Выбери верные утверждения: 1) Найдутся хотя бы двое, кто посещает оба кружка. 2) Каждый, кто ходит на историю, ходит и на математику. 3) Нет ни одного ученика, который посещает оба кружка. 4) Не найдётся 11 человек, каждый из которых посещает оба кружка.

Решение по шагам
  1. Сложи размеры групп: 13 + 10 = 23, а учеников всего 20. Значит, пересечение минимум 23 − 20 = 3 человека.
  2. Раз пересечение хотя бы 3 человека, утверждение 1 верно, а утверждение 3 неверно.
  3. Утверждение 2 не обязано выполняться: на историю могут ходить и те, кто не ходит на математику.
  4. Если бы оба кружка посещали 11 человек, то на математику ходило бы минимум 11 — но их всего 10. Противоречие, значит утверждение 4 верно. Ответ: 14.

Ответ: 14

Пример 2

В компании 30 сотрудников, из них 12 знают английский язык, 15 — немецкий. Выбери верные утверждения: 1) Найдутся хотя бы двое, знающих оба языка. 2) Каждый сотрудник знает хотя бы один из этих языков. 3) Найдётся сотрудник, знающий оба языка. 4) Не найдётся 16 человек, каждый из которых знает оба языка.

Решение по шагам
  1. Сложи группы: 12 + 15 = 27, а сотрудников 30. Сумма меньше общего числа — пересечения может не быть вовсе.
  2. Значит, утверждения 1 и 3 не гарантированы: все 12 знающих английский могут не знать немецкого.
  3. Утверждение 2 тоже не гарантировано: 27 человек покрывают обе группы, и ещё трое могут не знать ни одного языка.
  4. А вот 16 человек, знающих оба языка, невозможны: тогда английский знали бы минимум 16, а их всего 12. Утверждение 4 верно. Ответ: 4.

Ответ: 4

Пример 3

Даны числа 12, 25, 30 и 49. Выбери верные утверждения: 1) Каждое из чисел чётное. 2) Среди этих чисел есть то, квадрат которого больше 1000. 3) Среди этих чисел есть простое. 4) Каждое из чисел больше 10.

Решение по шагам
  1. Проверь утверждения 1 и 4: 25 нечётное, значит 1 неверно; все четыре числа больше 10 — утверждение 4 верно.
  2. Проверь утверждение 2: 49² = 2401 — больше 1000, значит верно.
  3. Проверь утверждение 3: 12 = 2²·3, 25 = 5², 30 = 2·3·5, 49 = 7² — простых чисел нет, неверно.
  4. Итого верны утверждения 2 и 4.

Ответ: 24

Тренажёр задания (числа меняются)

Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»

Из 24 девятиклассников 13 играют в волейбол, 14 — в баскетбол. Какое наименьшее число девятиклассников играет в обе игры?

В школе 28 десятиклассников, и 11 из них занимаются в авиамодельном кружке. Какое наименьшее число десятиклассников в кружок не ходит?

В ящике вперемешку лежат 7 пар чёрных и 4 пар белых носков. В темноте достают носки по одному. Какое наименьшее число носков нужно вынуть, чтобы среди них наверняка нашлась пара одного цвета?

Встретились 5 друзей, и каждый пожал руку каждому. Сколько всего было рукопожатий?

В вазе лежат 5 карамелек и 5 ирисок. Конфеты вынимают в темноте по одной. Сколько конфет нужно взять, чтобы среди них точно оказалась ириска?

Из 23 девятиклассников 13 играют в волейбол, 16 — в баскетбол. Какое наименьшее число девятиклассников играет в обе игры?

В школе 27 десятиклассников, и 11 из них занимаются в авиамодельном кружке. Какое наименьшее число десятиклассников в кружок не ходит?

В ящике вперемешку лежат 7 пар чёрных и 4 пар белых носков. В темноте достают носки по одному. Какое наименьшее число носков нужно вынуть, чтобы среди них наверняка нашлась пара одного цвета?

Типичные ошибки

  • Выбирать утверждение, которое просто «может быть верным»: спрашивают только то, что гарантировано условием при любом раскладе.
  • Забывать про двойной счёт: один человек может входить в обе группы, поэтому 13 + 10 при классе в 20 учеников означает общих участников, а не 23 разных человека.
  • Считать один удачный пример доказательством: пример подтверждает утверждение, но не гарантирует его для всех случаев.

Повторить теорию по математике (база)

Разбор задания опирается на формулы и приёмы — если тема вспоминается с трудом, сначала пробегите уроки:

Формат задания 8 на экзамене

Балл за задание: 1. Ориентир по времени: ≈5 минут вместе с оформлением решения. Проверяемая тема: логические задачи. На тренировке лимитов нет — сначала точность, скорость придёт после 10–15 решённых задач. Планируйте экзамен так, чтобы не застревать: если решение не идёт — зафиксируйте промежуточный результат, переходите дальше и возвращайтесь в конце, потому что остальные задания дадут больше суммарных баллов.

Частые вопросы про задание 8

Чем отличается «верно» от «может быть верно»?

Верно — значит выполняется всегда при любых данных, подходящих под условие. Если можешь придумать расклад, где утверждение нарушается, его выбирать нельзя.

Как быстро проверить пересечение двух групп?

Сложи размеры групп и сравни с общим числом. Если сумма больше — пересечение точно есть, и его минимум равен разности суммы и общего числа.

Нужно ли доказывать неверные утверждения?

Нет, достаточно одного контрпримера. Например, показать, что никто не обязан ходить на оба кружка.

Похожие задания