Алгебра · 10 классурок · 2026-09-29~8 мин чтения

Степенная функция с целым показателем — алгебра 10 класс

Семейство степенных функций: чётные и нечётные степени и их симметрия, гиперболы с отрицательным показателем, построение графика растяжением и сдвигом и физические зависимости — от тормозного пути до давления газа.

Открыть тренажёр Сразу к проверке

Ветряк за городом крутится не одинаково: при ветре 6 метров в секунду он выдаёт в восемь раз больше энергии, чем при ветре 3, хотя скорость выросла всего вдвое. Дело в том, что мощность потока растёт как куб скорости — это степенная зависимость с показателем три. Квадраты и кубы преследуют тебя повсюду: тормозной путь растёт как квадрат скорости — при удвоении скорости тормозить нужно в четыре раза дальше, а освещённость от лампы падает как обратный квадрат расстояния. Все такие зависимости — одно семейство функций, и у него есть общая карта свойств. Разберём семейство целиком: чётные степени, нечётные степени, отрицательные показатели и сдвиги графиков.

Семейство: чётные и нечётные степени

Степенной функцией с натуральным показателем называют функцию $y = x^{n}$ . Возьми несколько значений и отметь точки — картина зависит от чётности показателя. При чётном n — 2, 4, 6 — значения неотрицательны: чётная степень съедает минус, график целиком лежит не ниже оси абсцисс и симметричен относительно оси ординат: точка (2; 16) для $y = x^{4}$ тянет за собой и (-2; 16). При нечётном n — 1, 3, 5 — знак сохраняется: минус на входе даёт минус на выходе, график симметричен относительно начала координат — поворот на 180 градусов переводит его в себя. На краях все кривые ведут себя схоже: чем больше модуль x, тем круче уходят ветви, и чем больше n, тем резче этот уход.

Функция	Чётность	Симметрия графика	Поведение на краях
y = x²	чётная	относительно оси ординат	вверх на обоих краях
y = x³	нечётная	относительно начала координат	вниз слева, вверх справа
y = x⁴	чётная	относительно оси ординат	вверх на обоих краях
y = x⁵	нечётная	относительно начала координат	вниз слева, вверх справа

Свойства удобно держать в таблице, но смысл стоит проговорить словами. Область определения у всех функций семейства — все числа: возводить в натуральную степень можно что угодно. Чётная степень всегда неотрицательна и имеет минимум в нуле; на отрицательной полуоси она убывает, на положительной растёт, поэтому в нуле график делает разворот — тот самый «клюв» параболы. Нечётная степень растёт на всей числовой прямой: никаких разворотов, монотонное движение вверх. Отсюда разница в уравнениях: у $x^{n} = a$ с нечётным n ровно один корень при любом a, а при чётном — два корня при a больше нуля, один при a равном нуле и ни одного при a меньше нуля. Эта разница ещё выстрелит в уравнениях высших степеней.

y = x^{n}

Степенная функция с натуральным показателем n

Отрицательный показатель: гипербола-родня

Показатель может быть и целым отрицательным: по определению $x^{- n} = \frac{1}{x ^{n}}$ . При n равном единице выходит знакомая по восьмому классу обратная пропорциональность $y = \frac{1}{x}$ — гипербола с ветвями в первой и третьей четвертях. При n равном двум получается $y = \frac{1}{x ^{2}}$ : обе ветви поднимаются в верхнюю полуплоскость, потому что квадрат знаменателя всегда положителен. Обе функции определены при всех x, кроме нуля: делить на ноль нельзя, и ось ординат служит вертикальной асимптотой. Чем ближе x к нулю, тем выше ветвь; чем дальше, тем плотнее она прижимается к оси абсцисс. Физика полна таких зависимостей: давление газа при постоянной температуре обратно пропорционально объёму — это закон Бойля — Мариотта, а интенсивность света от точечной лампы убывает как обратный квадрат расстояния.

y = x^{- n} = \frac{1}{x ^{n}}

Степенная функция с целым отрицательным показателем

Сравни соседей по семейству. У $y = \frac{1}{x}$ ветви живут в первой и третьей четвертях: знак значения повторяет знак аргумента, функция нечётная, график симметричен относительно начала координат. У $y = \frac{1}{x ^{2}}$ знаки уже не сохраняются — минус в знаменателе исчезает, функция чётная, обе ветви зеркальны относительно оси ординат и целиком положительны. На бесконечности обе прижимаются к горизонтальной оси, но у второй это происходит быстрее: чем больше отрицательный показатель по модулю, тем резче взлёт у нуля и тем стремительнее спад на краях.

График через преобразования: растяжение и сдвиг

Каждый график семейства строится из базового тремя движениями. Формула $y = a (x - m)^{n} + k$ зашифровывает их все: коэффициент a растягивает график по вертикали, а при отрицательном a ещё и переворачивает; число m сдвигает по горизонтали; число k — по вертикали. Внимание к знакам: $(x - 2)^{3}$ — это сдвиг вправо на 2, а $(x + 2)^{3}$ — влево на 2, потому что $x + 2 = x - (- 2)$ . Разберём конкретный пример: $y = 2 (x - 1)^{3} + 3$ . Берём кубическую параболу, сдвигаем вправо на единицу, растягиваем вдвое по вертикали и поднимаем на три. Центр симметрии переехал из начала координат в точку (1; 3) — по нему удобно проверять эскиз.

Полезный приём для сравнения степенных кривых: подставляй одни и те же числа и следи, кто кого обгоняет. На участке от нуля до единицы всё переворачивается: $(\frac{1}{4})^{2} = \frac{1}{16}$ меньше, чем $(\frac{1}{4})^{3} = \frac{1}{64}$ — и наоборот, куб оказался меньше квадрата. А после единицы порядок обычный: чем больше показатель, тем быстрее рост. Именно поэтому в задачах про пузырьки воздуха у поверхности воды или про яркость звезды сначала смотрят, в какой области живёт число: до единицы или после.

Эскиз y = 2(x − 1)³ + 3 по контрольным точкам

Базовые точки кубической параболы.
$(0; 0), (1; 1), (- 1; - 1)$
Сдвиг вправо на 1: все абсциссы растут на единицу.
$(1; 0), (2; 1), (0; - 1)$
Растяжение в 2 раза по вертикали.
$(1; 0), (2; 2), (0; - 2)$
Подъём на 3: центр симметрии теперь в точке (1; 3).
$(1; 3), (2; 5), (0; 1)$

y = (1)·x²+(0)·x+(0)

a1b0c0

Парабола в руках

Коэффициент a растягивает и переворачивает, b и c двигают вершину — попробуй собрать y = (x − 2)² + 1: это a = 1, b = −4, c = 5

Собери в голове справочник зависимостей. Квадрат: тормозной путь и кинетическая энергия растут как квадрат скорости, площадь квадрата — как сторона. Куб: мощность ветрового потока — как куб скорости, объём куба — как ребро. Обратная пропорциональность: давление и объём газа при постоянной температуре, время и скорость при фиксированном пути, производительность и срок работы. Обратный квадрат: освещённость от лампы, сила притяжения и интенсивность сигнала от расстояния. Физики любят степенные зависимости за предсказуемость на краях: что происходит с формулой при очень больших и очень маленьких значениях, видно прямо по показателю.

Ловушка

Главные ловушки темы — знак и ноль. Чётная степень не бывает отрицательной: уравнение с четвёртой степенью слева и минусом справа корней не имеет, а график обратного квадрата никогда не опускается под ось. Ноль выколот у отрицательных показателей: дробь с квадратом в знаменателе при нулевом x не существует, и «склеить» ветви в этой точке — грубая ошибка. Ещё одна: сдвиг (x − m) двигает график вправо на m, а не влево — минус в скобках означает положительный сдвиг. Именно эти три фразы дают максимум потерянных баллов.

Область определения: все числа при натуральном показателе, все числа кроме нуля при отрицательном.
Чётность: чётная степень симметрична относительно оси ординат, нечётная — относительно начала координат.
Монотонность: нечётная степень растёт всюду, чётная убывает слева от нуля и растёт справа.
Асимптоты при отрицательном показателе: обе координатные оси.

Степенная функция#: функция вида y = x в степени n
Чётная функция#: значение не меняется при замене x на минус x
Нечётная функция#: значение меняет знак при замене x на минус x
Асимптота#: прямая, к которой график приближается бесконечно близко, но не пересекает

Утверждение 1 из 6

График функции y = x³ симметричен относительно начала координат

Верно или нет?

Шесть утверждений о семействе

Попыток: 0 · Найдено: 0 из 5

Термины

Определения

Собери пары

Соедини термин с его признаком

Дальше — тест и тренажёр. Степенная функция — рабочий инструмент десятого класса: она появится в уравнениях высших степеней, в производной, где показатель сойдёт с высоты вниз, и в задачах ЕГЭ на чтение графиков. Прогони каждую функцию из урока через чек-лист свойств — область определения, чётность, монотонность, асимптоты — и научись рисовать каждый график по трём точкам. После этого семейство перестанет быть набором кривых и станет картой.

Проверь себя

Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»

Найди значение функции y = x⁴ при x = −3. Запиши только число.

Какая из функций нечётная?

График функции y = 1/x² целиком лежит в верхней полуплоскости.

Выбери все функции, область определения которых — все числа, кроме нуля.

Расставь шаги построения графика y = 2(x − 1)³ + 3.

Сопоставь функцию и её описание.

Нажми на элемент слева, затем на его пару справа. Повторное нажатие отменяет связь.

Дополни предложение.

Выбери подходящее слово в каждом пропуске.

Функция y = x⁴ — и симметрична относительно , а функция y = x³ симметрична относительно .

Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.

Частые вопросы

Чем график y = x³ отличается от y = x²?

Кубическая парабола нечётна: минус на входе даёт минус на выходе, ветви уходят вниз влево и вверх вправо, функция растёт на всей прямой. Квадрат чётен: график целиком выше оси, в нуле разворот.

Почему у функции y = 1/x² обе ветви сверху?

Знаменатель — квадрат, он положителен при любом x кроме нуля, значит и вся дробь положительна. Ось ординат — вертикальная асимптота, а ось абсцисс — горизонтальная.

Как построить график функции со сдвигом вправо и вверх?

Сначала построй базовый график по трём точкам, затем сдвинь его вправо на число в скобках, растяни по вертикали и подними на свободный член. Двигай по одному шагу и после каждого проверяй контрольную точку.

Где в физике встречаются степенные функции?

Кинетическая энергия и тормозной путь растут как квадрат скорости, мощность ветрового потока — как куб. Давление газа обратно пропорционально объёму, а освещённость от лампы падает как обратный квадрат расстояния.