Графики y = sin x и y = cos x — алгебра 10 класс: синусоида, свойства, преобразования

Колесо обозрения радиусом 20 метров делает полный оборот за четыре минуты. Кабина поднимается почти на сорок метров над землёй, опускается обратно — и через четыре минуты всё повторяется в точности. Такое движение называют периодическим: значения повторяются через равные промежутки времени. Записывать периодические процессы математика научилась с помощью синуса: тем же законом описываются качели во дворе, дрожание струны, звук из наушников и переменный ток в розетке. Сегодня ты построишь график синуса с нуля — прямо из единичной окружности, — выпишешь его свойства, добавишь косинус и научишься превращать базовую волну под конкретную задачу: менять её высоту, ширину и положение.

Синусоида: прокатываем окружность

Возьми единичную окружность — окружность радиуса один с центром в начале координат. Точка бегает по ней против часовой стрелки, и её координаты имеют имена: абсцисса точки — косинус угла поворота, ордината — синус. Пока точка проходит полный круг, высота y растёт от нуля до единицы, спадает обратно к нулю, падает до минус единицы и возвращается. Отмечай по горизонтальной оси угол поворота в радианах, а по вертикали откладывай ординату точки — получится волнистая кривая, синусоида. Полный оборот — это $2\pi$ радиан, поэтому через каждые $2\pi$ кривая повторяется: у графика нет ни начала, ни конца, а весь его характер виден на одном периоде от нуля до $2\pi$.

Пять ключевых точек — готовый каркас построения: отметь их и соедини плавной волной, без острых углов и горизонтальных полок. Синус стартует из нуля, взбирается на максимум единица на $\frac{\pi }{2}$, возвращается к нулю на π, ныряет до минус единицы на $\frac{3\pi }{2}$ и замыкается на $2\pi$. Косинус живёт теми же числами, но с другой стартовой позиции: начинается с единицы, обнуляется на $\frac{\pi }{2}$ и минимум берёт на π. Приложи два графика друг к другу — они совпадают при сдвиге на четверть оборота. Равенство $\cos x=\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$ стоит запомнить: косинус — это синус, сдвинутый на $\frac{\pi }{2}$ влево. Учить два графика по отдельности не нужно — это одна волна в двух положениях.

Свойства y = sin x

Свойства удобно проверять по графику. Область определения — все числа: угол можно брать каким угодно, даже отрицательным. Множество значений — отрезок от −1 до 1: ордината точки единичной окружности выше и ниже не убегает. Период равен $2\pi$ — наименьшее положительное число T, при котором $\sin (x+T)=\sin x$. Функция нечётная: $\sin (-x)=-\sin x$, и график симметричен относительно начала координат. Нули стоят в точках $x=\pi n$ для любого целого n — волна прокалывает ось каждые π. Максимум единица достигается в точках $x=\frac{\pi }{2}+2\pi n$, минимум минус единица — в точках $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n$. Каждое свойство найди глазами на графике из интерактива: список, подкреплённый картинкой, живёт в памяти годами.

Свойства y = cos x и чётность

У косинуса период $2\pi$ и та же полоса значений от −1 до 1, но характер зеркальный. Косинус — абсцисса точки единичной окружности, поэтому функция чётная: $\cos (-x)=\cos x$, и график симметричен относительно вертикальной оси. Максимум единица стоит в точках $x=2\pi n$, в том числе над нулём, — косинусоиду легко узнать по горке прямо над началом координат. Нули лежат в точках $x=\frac{\pi }{2}+\pi n$, минимум — в точках $x=\pi +2\pi n$. Чётность проверяется подстановкой за пять секунд: подставь в формулу −1 и 1 и сравни значения. Совпали — чётная, поменялся знак — нечётная. Так не перепутаешь синус с косинусом на контрольной.

График решает уравнения без вычислений. Чтобы решить $\sin x=0,5$, проведи горизонталь на высоте половина: она встретит синусоиду дважды на каждом периоде — в точках $\frac{\pi }{6}$ и $\frac{5\pi }{6}$ плюс полные обороты. Горизонталь на высоте два не встретит ничего: выше единицы синус не живёт. Горизонталь ровно на высоте один коснётся волны по одной точке на периоде. Так глаз отвечает на вопрос «сколько корней» быстрее любого перебора — приём пригодится и на экзамене, и в физике, когда ищут моменты времени, когда колебание проходит заданную отметку.

Следи ещё и за направлением движения. На промежутке от $-\frac{\pi }{2}$ до $\frac{\pi }{2}$ синус растёт: точка на окружности поднимается из нижнего положения в верхнее. На отрезке от $\frac{\pi }{2}$ до $\frac{3\pi }{2}$ — убывает. У косинуса рост занимает половину оборота от π до $2\pi$, а спад — от нуля до π. Промежутки возрастания и убывания нужны в десятках задач: по ним строят эскизы, ищут наибольшее значение функции на отрезке и отвечают на неравенства вроде $\sin x>\frac{1}{2}$ — достаточно заштриховать дуги окружности, где высота точки больше половины.

Преобразования: амплитуда, период, сдвиги

Реальные волны редко бывают высотой ровно один. Общий вид гармонической волны: $y=A\sin (kx+\phi )+b$. Число A — амплитуда: график растягивается по вертикали, и волна качается от −A до A. Число k сжимает график по горизонтали: чем больше k, тем чаще гребни, а период считается по формуле $T=\frac{2\pi }{k}$. Слагаемое $\phi$ сдвигает волну вдоль оси: плюс уводит график влево, минус — вправо. Свободное число b поднимает всю волну вверх или опускает вниз, и линия y = b становится средним уровнем, вокруг которого качается график. Все четыре ручки есть в интерактиве выше: покрути их по очереди и следи за каждым эффектом отдельно.

Формула волны — рабочий язык физики и техники. Напряжение в бытовой сети меняется по закону $u=U_m\sin (\omega t)$: $U_m$ — амплитуда, около 311 вольт, $\omega$ — циклическая частота; сеть живёт на частоте 50 Гц, то есть пятьдесят колебаний в секунду, а период — две сотых секунды. Звук — та же синусоида: амплитуда задаёт громкость, частота — высоту тона; нота ля первой октавы звучит на частоте 440 Гц. Качели во дворе описываются синусоидой с периодом в пару секунд, а температура воздуха за неделю рисует волну с периодом в сутки. Увидел в задаче слово «колебание» — рисуй синус и выписывай его коэффициенты: дальше сюжет разворачивается сам.

Синусоида#

график y = sin x — плавная волна с периодом 2π

Единичная окружность#

окружность радиуса 1; синус — ордината её точки, косинус — абсцисса

Период#

наименьшее положительное T, при котором график повторяется

Амплитуда#

модуль коэффициента A — высота волны над средним уровнем

Фазовый сдвиг#

горизонтальный сдвиг волны числом φ в скобке

Дальше — тест и тренажёр. Графики синуса и косинуса открывают всю тригонометрию старших классов: на их фоне решаются уравнения вида $\sin x=a$, вводятся тангенс и обратные функции. На ЕГЭ волны приходят в задачах на чтение графиков и производную, в физике — в колебаниях и волнах любой природы. Потренируйся прямо сейчас: построй эскиз $y=3\sin \frac{x}{2}$ без таблицы — амплитуда три, период $4\pi$, пять ключевых точек, плавная волна. Получилось за минуту — урок сделал своё дело.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема