Графики y = sin x и y = cos x — алгебра 10 класс: синусоида, свойства, преобразования — тренажёр

Пример 1. Найди наибольшее значение функции y = 4·sin x + 2. Запиши только число.

Подсказка. Подставь максимум синуса вместо sin x.

Как решать. Максимум синуса равен единице, значит наибольшее значение равно 4·1 + 2.

Ответ: 6

Пример 2. Мембрана динамика колеблется по закону y = 2·sin t, где t — время в секундах, а y — смещение в миллиметрах. Каково расстояние между крайними положениями мембраны? Запиши только число.

Подсказка. Размах колебания — два раза по амплитуде.

Как решать. Крайние положения: 2 и −2; расстояние между ними 2 − (−2) = 2·2 мм.

Ответ: 4

Пример 3. При замене x на −x одна из функций y = sin x или y = cos x не меняет своих значений. Какая? Ответ запиши одним словом.

Как решать. cos(−x) = cos x — функция чётная и знака не меняет, а синус меняет знак: sin(−x) = −sin x.

Ответ: косинус

Пример 4. Найди наибольшее значение функции y = 2·sin x + 5. Запиши только число.

Подсказка. Подставь максимум синуса вместо sin x.

Как решать. Максимум синуса равен единице, значит наибольшее значение равно 2·1 + 5.

Ответ: 7

Пример 5. Мембрана динамика колеблется по закону y = 5·sin t, где t — время в секундах, а y — смещение в миллиметрах. Каково расстояние между крайними положениями мембраны? Запиши только число.

Подсказка. Размах колебания — два раза по амплитуде.

Как решать. Крайние положения: 5 и −5; расстояние между ними 5 − (−5) = 2·5 мм.

Ответ: 10

Пример 6. Найди наибольшее значение функции y = 3·sin x + 5. Запиши только число.

Подсказка. Подставь максимум синуса вместо sin x.

Как решать. Максимум синуса равен единице, значит наибольшее значение равно 3·1 + 5.

Ответ: 8

Пример 7. Мембрана динамика колеблется по закону y = 3·sin t, где t — время в секундах, а y — смещение в миллиметрах. Каково расстояние между крайними положениями мембраны? Запиши только число.

Подсказка. Размах колебания — два раза по амплитуде.

Как решать. Крайние положения: 3 и −3; расстояние между ними 3 − (−3) = 2·3 мм.

Ответ: 6

Вопрос 1. Во сколько раз период функции y = sin(3x) меньше периода функции y = sin x? Запиши только число.

Ответ: 3

Пояснение. Период считается по формуле T = 2π/k; при k = 3 он втрое меньше стандартного.

Вопрос 2. В каких точках функция y = sin x достигает наибольшего значения?

Ответ: $x=\frac{\pi }{2}+2\pi n$

Пояснение. Максимум синуса равен единице и наступает на четверть оборота после нуля, то есть в точках π/2 + 2πn.

Вопрос 3. Функция y = cos x является нечётной.

Ответ: Неверно

Пояснение. Косинус чётный: cos(−x) = cos x, график симметричен относительно оси ординат. Нечётным является синус.

Вопрос 4. Выбери все верные утверждения про функцию y = sin x.

Ответ: период равен 2π; функция нечётная; множество значений — отрезок от −1 до 1

Пояснение. Синус имеет период 2π, нечётен и качается между −1 и 1. Симметрия относительно оси ординат — признак чётной функции, это про косинус.

Вопрос 5. Расставь шаги построения графика функции y = A·sin(kx + φ) + b.

Ответ: определить амплитуду A и отметить размах → вычислить период по формуле T = 2π/k → сдвинуть волну на φ и поднять на b

Пояснение. Сначала выясняют амплитуду, затем период — сколько гребней помещается на оси, и в конце применяют горизонтальный и вертикальный сдвиги.

Вопрос 6. Сопоставь коэффициент и его эффект в формуле y = A·sin(kx + φ) + b.

Пояснение. A задаёт амплитуду, k — период через 2π/k, φ двигает волну вдоль оси, b поднимает или опускает её.

Вопрос 7. Дополни предложение.

Ответ: синусоида → π/2 → модулю A

Пояснение. Синусоида — имя графика синуса; косинус — синус со сдвигом на π/2 влево; амплитуда равна модулю коэффициента A.