ЕГЭ · Математика (профиль) · задание 121 балл · ≈7 мин

Задание 12 ЕГЭ: Планиметрия: вписанные и описанные фигуры

Круг и многоугольник связаны жёсткими правилами: вписанная окружность касается всех сторон изнутри, описанная проходит через все вершины. Задание сводится к одной формуле и одному действию. Первое дело — понять, о какой окружности речь.

Все задания Математика (профиль)

Что проверяет задание

Геометрия на плоскости. Это задание с коротким ответом, который проверяется автоматически. Одна арифметическая ошибка — ноль баллов, поэтому скорость и аккуратность здесь важнее гениальности.

Формулы к заданию

R = \frac{a}{2 sin α}

Радиус описанной окружности: сторона и противолежащий угол

r = \frac{S}{p}

Радиус вписанной окружности, p — полупериметр

Разбор типовых задач

Пример 1

Сторона AB треугольника ABC равна 6, а противолежащий ей угол C равен 30°. Найди радиус окружности, описанной около треугольника.

Решение по шагам

Выпиши связь стороны, противолежащего угла и радиуса описанной окружности.
$R = \frac{a}{2 sin α}$
Здесь a = 6, угол равен 30°, а синус 30° равен 0,5.
$R = \frac{6}{2 \cdot 0 , 5}$
Знаменатель равен 1, поэтому ответ — 6.
$R = 6$

Ответ: 6

Пример 2

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, угол A равен 48°. Найди угол C.

Решение по шагам

В вписанном четырёхугольнике противоположные углы в сумме дают 180°.
$∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$
Подставь угол A.
$∠ C = 18 0^{\circ} - 4 8^{\circ}$
Вычти 48 из 180 — получишь угол C.
$∠ C = 13 2^{\circ}$

Ответ: 132

Пример 3

Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Найди радиус вписанной в него окружности.

Решение по шагам

Сначала полупериметр.
$p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21$
Площадь по формуле Герона.
$S = 21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 7056 = 84$
Радиус вписанной окружности — площадь над полупериметром.
$r = \frac{84}{21} = 4$

Ответ: 4

Тренажёр задания (числа меняются)

Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»

Сторона треугольника равна 3, противолежащий угол равен 30°. Найди радиус описанной окружности.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, угол A равен 59°. Найди угол C.

Центральный угол на 47° больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Найди вписанный угол.

Угол между касательной и хордой, проведёнными из конца хорды, равен 35°. Найди вписанный угол, опирающийся на эту дугу.

Радиус вписанной в треугольник окружности равен 3, полупериметр равен 6. Найди площадь треугольника.

Четырёхугольник со сторонами 8, 4, 4 и d описан около окружности. Найди d, если стороны 8 и 4 противоположны.

Сторона треугольника равна 7, противолежащий угол равен 30°. Найди радиус описанной окружности.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, угол A равен 62°. Найди угол C.

Типичные ошибки

Делишь просто на синус: в формуле описанной окружности 2 sin α стоит в знаменателе целиком, потеря двойки удваивает ответ.
Считаешь вписанный угол равным центральному — на самом деле он вдвое меньше.
Путаешь окружности местами: вписанная касается всех сторон изнутри, описанная проходит через все вершины. Перечитай условие.
Делишь площадь на периметр вместо полупериметра: в формуле r = S/p именно p — половина периметра.

Повторить теорию по математике (профиль)

Разбор задания опирается на формулы и приёмы — если тема вспоминается с трудом, сначала пробегите уроки:

Формат задания 12 на экзамене

Балл за задание: 1. Ориентир по времени: ≈7 минут вместе с оформлением решения. Проверяемая тема: геометрия на плоскости. На тренировке лимитов нет — сначала точность, скорость придёт после 10–15 решённых задач. Планируйте экзамен так, чтобы не застревать: если решение не идёт — зафиксируйте промежуточный результат, переходите дальше и возвращайтесь в конце, потому что остальные задания дадут больше суммарных баллов.

Частые вопросы про задание 12

Чем отличается вписанная окружность от описанной?

Вписанная лежит внутри фигуры и касается всех её сторон. Описанная проходит через все вершины — фигура сидит внутри неё.

Почему вписанный угол вдвое меньше центрального?

Оба угла измеряются дугой: центральный «съедает» всю дугу, а вписанный смотрит на неё из вершины и охватывает половину. Держи в голове картинку с дугой.

А если угол не табличный, например 35°?

В первой части ЕГЭ углы подбирают так, чтобы синус был табличным: 30°, 45°, 60° или дополнение до 180°. Если вышло иррациональное число — проверь, тот ли угол взял.

Что проверяет задание

Формулы к заданию

Разбор типовых задач

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Тренажёр задания (числа меняются)

Типичные ошибки

Повторить теорию по математике (профиль)

Формат задания 12 на экзамене

Частые вопросы про задание 12

Похожие задания