ЕГЭ · Математика (профиль) · задание 111 балл · ≈6 мин

Задание 11 ЕГЭ: Функции: анализ графиков

Тебе показывают график — прямой, гиперболы или параболы — и просят коэффициент. Всё решают две точные точки: подставил, составил уравнение, выразил нужное. Ошибаются здесь не в математике, а в невнимательном чтении клеток.

Все задания Математика (профиль)

Что проверяет задание

Чтение графиков функций. Это задание с коротким ответом, который проверяется автоматически. Одна арифметическая ошибка — ноль баллов, поэтому скорость и аккуратность здесь важнее гениальности.

Формулы к заданию

k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

Угловой коэффициент прямой по двум точкам

x_{0} = - \frac{b}{2 a}, c = y (0)

Парабола: абсцисса вершины и свободный член

Разбор типовых задач

Пример 1

На рисунке изображён график функции y = kx + b. График проходит через точки (0; -3) и (2; 1). Найди k.

Решение по шагам

Точка (0; -3) сразу даёт b: график пересекает ось Y там, где x = 0.
$b = - 3$
Угловой коэффициент — это «подъём на шаг»: из (0; -3) в (2; 1) идём на 2 вправо и на 4 вверх.
$k = \frac{1 - ( - 3 )}{2 - 0} = \frac{4}{2} = 2$
Проверка: y = 2x - 3, при x = 2 получаем y = 1 — сходится.

Ответ: 2

Пример 2

На рисунке изображён график функции y = a/x + b. Он проходит через точки (-2; -5) и (4; 1). Найди a.

Решение по шагам

Подставь обе точки в формулу — получишь систему из двух уравнений.
$- \frac{a}{2} + b = - 5, \frac{a}{4} + b = 1$
Вычти второе уравнение из первого: b исчезнет.
$- \frac{a}{2} - \frac{a}{4} = - 6 \Rightarrow - \frac{3 a}{4} = - 6$
Отсюда a = 8.
$a = 8$
Для проверки найди b: из второго уравнения b = 1 - 8/4 = -1. Точка (4; 1) ложится на график. В ответ просят только a.

Ответ: 8

Пример 3

На рисунке изображена парабола y = ax^2 + bx + c. Она пересекает ось Y в точке (0; -3), её вершина — точка (1; -4). Найди b.

Решение по шагам

Пересечение с осью Y — это свободный член.
$c = - 3$
Подставь вершину (1; -4) в уравнение.
$a + b - 3 = - 4 \Rightarrow a + b = - 1$
Абсцисса вершины связывает a и b.
$x_{0} = - \frac{b}{2 a} = 1 \Rightarrow b = - 2 a$
Подставь b = -2a в первое уравнение.
$a - 2 a = - 1 \Rightarrow a = 1, b = - 2$
Проверка: y(1) = 1 - 2 - 3 = -4 — верно.

Ответ: -2

Тренажёр задания (числа меняются)

Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»

Прямая y = kx + b проходит через точку (1; -2), угловой коэффициент равен 1. Найди b.

График функции y = a/x проходит через точку (3; 2). Найди a.

Парабола y = ax² + bx + c пересекает ось Y в точке (0; 3). Чему равно c?

Парабола задана формулой y = (x − 2)² + 2. Найди абсциссу её вершины.

Прямая y = 5x + -5 параллельна прямой y = ax + 7. Найди a.

Ветви параболы y = ax² + 3x - 1 направлены вниз. Что можно сказать о знаке a?

Прямая y = kx + b проходит через точку (3; 3), угловой коэффициент равен 1. Найди b.

График функции y = a/x проходит через точку (2; 4). Найди a.

Типичные ошибки

Берёшь клетки, через которые график не проходит: точка должна лежать точно на пересечении линий сетки, иначе все уравнения поедут.
Путаешь знак k: если график идёт вниз слева направо, k отрицательный, даже если по модулю посчиталось положительное число.
В параболе принимаешь c за ноль автоматически: c — это высота, где график пересекает ось Y, и она может быть любой.
Забываешь про формат ответа: в первую часть пишут целое число или конечную десятичную дробь — не 5/2, а 2,5.

Повторить теорию по математике (профиль)

Разбор задания опирается на формулы и приёмы — если тема вспоминается с трудом, сначала пробегите уроки:

Формат задания 11 на экзамене

Балл за задание: 1. Ориентир по времени: ≈6 минут вместе с оформлением решения. Проверяемая тема: чтение графиков функций. На тренировке лимитов нет — сначала точность, скорость придёт после 10–15 решённых задач. Планируйте экзамен так, чтобы не застревать: если решение не идёт — зафиксируйте промежуточный результат, переходите дальше и возвращайтесь в конце, потому что остальные задания дадут больше суммарных баллов.

Частые вопросы про задание 11

Как понять, какие точки на графике можно брать?

Бери узлы сетки, через которые линия проходит точно: пересечения с осями и другие целые точки. Если обе точки дают одну и ту же формулу — ты на верном пути.

График гиперболы сдвинут, я не понимаю, что за b.

b — это горизонтальная асимптота: посмотри, к какой линии график прижимается, когда x уходит далеко вправо или влево. Ордината этой линии и есть b.

А если в ответе получается дробь?

Переведи в десятичную: бланк ЕГЭ принимает целые числа и конечные десятичные дроби. 5/2 записывай как 2,5.

Что проверяет задание

Формулы к заданию

Разбор типовых задач

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Тренажёр задания (числа меняются)

Типичные ошибки

Повторить теорию по математике (профиль)

Формат задания 11 на экзамене

Частые вопросы про задание 11

Похожие задания