Множества и события: операции и диаграммы Эйлера

Перед нами школьная загадка, из-за которой в десятый класс приходит целая математика. В классе двадцать пять человек: четырнадцать поют в хоре, двенадцать играют в волейбол, и пятеро успевают и то и другое. Сколько человек занято хотя бы в одном из кружков? На глаз просятся простые сложения: 14 + 12 = 26 — но в классе всего двадцать пять. Разгадка в том, что пятерых мы посчитали дважды: один раз в хоре, второй — в волейболе. Чтобы такие вопросы решались уверенно, нужна аккуратная система записи: она называется теорией множеств, а её любимая картинка — круги Эйлера. К концу урока мы вернёмся к кружкам и получим точный ответ.

Важная оговорка: в седьмом, восьмом и девятом классах множества отдельно не изучались — до сих пор события и данные описывались словами и таблицами. Так что это новый материал, и начинается он с трёх слов. Множество — это любой набор объектов, рассматриваемый как единое целое: ученики класса, дни недели, исходы броска кубика. Объекты внутри называют элементами множества. Повторов множество не хранит, и порядок элементов ему безразличен: {1, 2, 3} и {3, 1, 2} — одно и то же множество. Если каждый элемент одного множества лежит и в другом, первое называют подмножеством второго. Наконец, в каждой задаче есть универсум U — множество всех элементарных исходов опыта; в опыте с кубиком это {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Событие как множество исходов

Событие в случайном опыте — это просто подмножество универсума: список исходов, которые мы договорились засчитывать. Бросаем кубик: событие «выпало чётное число» — это множество {2, 4, 6}; событие «выпало кратное трём» — {3, 6}. Седьмой класс умел называть события словами и считать их частоту; десятый добавляет главное — с событием можно работать как со множеством: складывать, пересекать, вычитать. Два крайних случая уже знакомы: достоверное событие содержит все исходы и совпадает с универсумом, а невозможное не содержит ни одного — это пустое множество. «На кубике выпало число от одного до шести» — достоверное, «выпала семёрка» — невозможное.

Четыре операции: объединение, пересечение, разность, дополнение

Объединение множеств A и B — множество элементов, которые лежат хотя бы в одном из них: выписываем всё из A, затем добавляем недостающее из B. Пересечение — множество общих элементов: они должны лежать и в A, и в B. На кубике для A = {2, 4, 6} и B = {3, 6} объединение равно {2, 3, 4, 6} — четыре исхода, а пересечение {6} — одна шестёрка, ведь она и чётная, и кратна трём. Обрати внимание на слова «хотя бы»: они ключевые для объединения — элемент объединения не обязан лежать в обоих множествах, достаточно одного.

Разность A \ B забирает из A только то, что в B не попало, — поэтому она несимметрична: разности A \ B и B \ A обычно разные множества. Для кубика A \ B = {2, 4} — чётные, кроме шестёрки, а B \ A = {3} — тройка без шестёрки. Дополнение A′ — частный случай разности: A′ = U \ A, всё, что осталось от универсума. На словах дополнение — это «не A»: событие не произошло. Операции связаны жёсткими правилами: пересекая множество с его дополнением, получаем пустое множество — исход не может лежать и в A, и не в A одновременно; объединяя их — получаем весь универсум.

Диаграммы Эйлера

Круги Эйлера — способ увидеть операции. Универсум рисуем прямоугольником, множества — кругами внутри него. Пересечение — линза, общая часть кругов; на диаграмме сразу видно, пустая она или нет: непересекающиеся круги — это несовместные события. Разность A \ B — серп круга A без линзы. Дополнение — всё, что лежит в прямоугольнике, но вне круга A. Диаграмма не заменяет перечисление: она подсказывает структуру — где что лежит, какая часть посчитана дважды, на сколько областей распалась задача. Пусть круги войдут в привычку: рисунок в две минуты экономит десять минут путаницы.

Противоположное событие — это дополнение. Событие «не A» происходит ровно тогда, когда A не произошло, то есть его множество — U \ A: на кубике противоположное к «чётному» {2, 4, 6} — это «нечётное» {1, 3, 5}. Ещё в восьмом классе появилось правило P(A) + P(не A) = 1 — теперь у него честная картинка: круг и всё вокруг него в сумме покрывают весь прямоугольник. Противоположное событие удобно, когда прямой подсчёт утомителен: вместо «хотя бы одна шестёрка в пяти бросках» проще посчитать противоположное «ни одной шестёрки».

Несовместные события на языке множеств — это события с пустым пересечением: A ∩ B = ∅. Орёл и решка одного броска несовместны: множества {орёл} и {решка} не имеют общих исходов. «Выпало чётное» и «выпала пятёрка» тоже несовместны: {2, 4, 6} ∩ {5} = ∅ — пятёрка нечётна. А вот «чётное» и «кратное трём» совместны: линза не пуста, в ней лежит шестёрка. Отсюда точное определение вместо интуиции: два события несовместны тогда и только тогда, когда у них нет ни одного общего исхода. Пересекая непересекающиеся множества, мы получаем пустое множество — и это не ошибка, а честный ответ: событие невозможно.

Перевод текста на язык множеств

Главный навык темы — переводить русские фразы в операции. Бросаем кубик: пусть A — «чётное» {2, 4, 6}, B — «кратное трём» {3, 6}. Фраза «выпало чётное или кратное трём» — это A ∪ B = {2, 3, 4, 6}. Фраза «выпало чётное и кратное трём» — A ∩ B = {6}. Фраза «выпало чётное, но не кратное трём» — разность A \ B = {2, 4}. Фраза «выпало нечётное» — дополнение A′ = {1, 3, 5}. Каждому союзу соответствует своя операция: «или» — объединение, «и» — пересечение, «но не», «без», «кроме» — разность, «не» — дополнение. Ошибка в переводе стоит дорого: дальше по этому множеству будет считаться вероятность.

Посчитаем по формуле. Для кубика |A| = 3, |B| = 3, |A ∩ B| = 1, значит |A ∪ B| = 3 + 3 − 1 = 5 — и правда, {2, 3, 4, 6}. В таблице выше: 5 + 3 − 2 = 6. Теперь обещанный ответ про кружки: хор — множество из 14 человек, волейбол — из 12, пересечение — 5 человек. Занято хотя бы в одном кружке: 14 + 12 − 5 = 21. Из двадцати пяти свободны от кружков 25 − 21 = 4 — это дополнение объединения. Заметь типичную ошибку, которую формула исправляет: сложение 14 + 12 даёт 26, потому что пятерых общих людей мы посчитали дважды.

Множество#

набор объектов без повторов и без порядка; объекты называют элементами

Событие#

подмножество универсума: множество исходов, которые засчитываются

Объединение A ∪ B#

элементы хотя бы в одном из множеств; событие «A или B»

Пересечение A ∩ B#

общие элементы; событие «A и B»; пустое пересечение — несовместность

Разность A \ B и дополнение A′#

в A без B; «не A» — противоположное событие

Формула включений-исключений#

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| — число элементов объединения

Зачем всё это дальше: следующая остановка — вероятности операций. У событий появятся числовые шансы, и круги Эйлера превратятся в формулы сложения: вероятность объединения P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) — точный родственник формулы включений-исключений, а у несовместных событий слагаемое с пересечением исчезает. Тот же словарь работает и вне вероятности: поисковые запросы с «И» и «ИЛИ», фильтры в каталогах и базы данных собирают результаты ровно через пересечения и объединения. Вынеси из урока три вещи: событие — это множество исходов; союз определяет операцию; диаграмма Эйлера показывает структуру раньше, чем подсчёт.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема