Вероятности сложных событий: сложение, умножение, противоположные
Ящик инструментов для сложных событий: сложение для несовместных и совместных, включения и исключения по диаграммам Эйлера, умножение с условной вероятностью, противоположное событие и приём «хотя бы один».
На соревнованиях по стрельбе два стрелка уходят к своим мишеням: первый попадает в среднем в шести выстрелах из десяти, второй — в пяти. Болельщики спорят, каков шанс, что попадёт хотя бы один. Кто-то складывает 0,6 и 0,5 и получает 1,1 — число, которого вероятность достичь не может. Ошибка не в числах, а в инструменте: правило «или — значит сложить» работает только при одном условии, о котором в восьмом и девятом классах говорилось мимоходом. В этом уроке собираем полный ящик инструментов для сложных событий: сложение для несовместных и совместных, умножение с учётом условной вероятности и противоположное событие с приёмом «хотя бы один».
Сначала договоримся о словах. Сложным называют событие, собранное из простых с помощью связок «или» и «и». Событие «A или B» наступает, когда случилось хотя бы одно из двух, а может, и оба сразу; его называют объединением и пишут A∪B. Событие «A и B» требует, чтобы случились оба; это пересечение, запись A∩B. Весь вопрос в том, как вероятности P(A∪B) и P(A∩B) связаны с P(A) и P(B). Ответ зависит от двух свойств пары: могут ли события случиться вместе (совместность) и влияют ли они друг на друга (зависимость). Поэтому перед каждой формулой будем задавать два контрольных вопроса: совместны ли события и независимы ли они.
Сложение: когда достаточно прибавить
Начнём со случая, где всё просто. Бросают кубик; событие A — выпадет шестёрка, событие B — выпадет единица. Вместе они случиться не могут: у событий нет общего исхода. Такие события называют несовместными. Благоприятных исходов у события «шестёрка или единица» ровно два из шести, и вероятность 1/3 получается честным сложением: 1/6 + 1/6. Несовместные события разрезают круг исходов на непересекающиеся куски, и доли кусков просто складываются — ни один исход не посчитан дважды.
Диаграммы Эйлера: где прячется пересечение
Что изменится, если события могут случиться вместе? Нарисуем диаграмму Эйлера: прямоугольник — все исходы опыта, два круга внутри — события A и B. Пусть P(A) = 0,5, P(B) = 0,4, а общая часть кругов занимает 0,15. Круг A состоит из своей личной части 0,35 и общей части 0,15; круг B — из личной 0,25 и той же общей 0,15. Теперь смотри, что делает сумма P(A) + P(B): личные части она считает по одному разу, а общую — дважды, ведь та лежит и в первом круге, и во втором. Лишнее вхождение ровно одно, и его вычитают. Проверка по областям: 0,35 + 0,25 + 0,15 = 0,75 — и столько же даёт 0,5 + 0,4 − 0,15. Вся площадь сходится к единице: 0,35 + 0,25 + 0,15 + 0,25 = 1.
Проверим формулу на кубике: событие A — выпадет чётное число (1/2), событие B — выпадет число больше четырёх (1/3). Общая часть — шестёрка (1/6). По формуле: 1/2 + 1/3 − 1/6 = 2/3. Перечислением: подходят 2, 4, 5 и 6 — четыре исхода из шести. Сходится. Мысль знакомая: в комбинаторике правило суммы требовало непересекающихся вариантов, иначе возникал двойной счёт. Формула включений и исключений — та же защита от двойного счёта, только в вероятностях: пересечение посчитано дважды — вычитаем один лишний экземпляр. Если событий три, знаки чередуются: сумма по одному, минус суммы пар, плюс тройное пересечение — но в школьных задачах дальше двух событий почти не доходят.
| Что ищем | Формула | Когда верна |
|---|---|---|
| «A или B» | P(A) + P(B) | события несовместны |
| «A или B» | P(A) + P(B) − P(A∩B) | любые события |
| «A и B» | P(A)·P(B) | события независимы |
| «A и B» | P(A)·P(B|A) | любые события |
| «не A» | 1 − P(A) | всегда |
| «хотя бы один» | 1 − P(ни одного) | всегда, через противоположное |
Умножение: от независимых к условной вероятности
С «и» та же история: у умножения есть общая форма и частный случай. Общая форма связывает пересечение с условной вероятностью из девятого класса: чтобы оба события случились, сначала должно наступить A, а затем B должен случиться уже внутри сузившегося круга. Восьмиклассник умножал P(A)·P(B) без оговорок — и был прав, пока события независимы: для независимых событий P(B|A) = P(B), условие ничего не меняет, и общая формула схлопывается в знакомое произведение. Если же второй шанс зависит от первого — шар не вернули в урну, деталь взяли из уменьшившейся партии, — произведение без поправки врёт: нужна именно условная вероятность.
Считаем честно. В урне 4 красных и 3 синих шара, вынимают два подряд без возвращения. Путь «обе красные» по дереву опыта: на первом шаге 4/7, на втором — 3/6, ведь красных осталось три, а шаров всего шесть. Произведение: 4/7 · 3/6 = 12/42 = 2/7. Сочетаниями из десятого класса — тот же ответ: C(4,2)/C(7,2) = 6/21 = 2/7. А вот умножение без поправки, 4/7 · 4/7 = 16/49, отвечало бы на вопрос про два независимых вытягивания с возвращением — но у нас шары не возвращают. Одна строчка в условии — другой ответ.
Противоположное событие: третий ключ
Третий ключ ты носишь с собой с восьмого класса: пара событий A и «не A» делит все исходы между собой без остатка, поэтому P(не A) = 1 − P(A). Правило работает всегда — ни совместность, ни зависимость ему не мешают. Его главный выигрыш — смена перспективы: прямое событие иногда состоит из многих раскладок, а противоположное к нему — из одной. Главный клиент приёма — событие «хотя бы один»: противоположно ему событие «ни одного», а это ровно одно умножение неудач.
Лотерея: в пачке 10 билетов, 3 из них выигрышные, вы купили 2 подряд без возвращения. Каков шанс хотя бы одного выигрыша? Противоположное событие — оба билета пустые: 7/10 · 6/9 = 7/15, значит ответ 1 − 7/15 = 8/15. А теперь та же задача через сложение: P(первый выигрышный) = 3/10, P(второй выигрышный) = 3/10 по соображениям симметрии, P(оба) = 3/10 · 2/9 = 1/15. По формуле включений и исключений: 3/10 + 3/10 − 1/15 = 8/15. Два разных пути — один ответ. Такое совпадение — лучшая проверка: формулы урока не спорят друг с другом, они смотрят на одно событие с разных сторон.
| Событие | Как считаем | Ответ |
|---|---|---|
| хотя бы один попал | сложение с вычитанием: 0,6 + 0,5 − 0,3 | 0,8 |
| хотя бы один попал | противоположное: 1 − 0,4 · 0,5 | 0,8 |
| оба попали | умножение независимых: 0,6 · 0,5 | 0,3 |
| никто не попал | противоположное к «хотя бы один»: 1 − 0,8 | 0,2 |
Два экзамена, шанс сдать каждый равен 0,7, результаты независимы. Прикинь вероятность сдать хотя бы один экзамен и проверь себя.
Как выбрать инструмент
- Выпиши события и вопрос: что значит «или», что значит «и», что является противоположным к искомому событию.
- Проверь совместность: могут ли события случиться вместе? Для «или» у совместных событий обязательна формула с вычитанием пересечения.
- Проверь зависимость: меняет ли один опыт шансы другого? Для «и» независимые события перемножаются, для зависимых нужна условная вероятность.
- Для «хотя бы один» почти всегда быстрее противоположное событие: единица минус вероятность «ни одного».
- Проверь ответ: вероятность лежит от нуля до единицы; при сомнениях реши вторым способом и сравни.
Нажми на элемент, затем на категорию. Нажми на разложенный элемент — вернётся в пул.
События, которые не могут произойти в одном опыте вместе, называют . Для них вероятность «или» равна сумме вероятностей. Для совместных событий из суммы вычитают . Вероятность того, что произойдут оба независимых события, — это их вероятностей. Вероятность противоположного события равна . Событие «хотя бы один» ищут через противоположное: единица минус вероятность «».
Банк слов
- Объединение A∪B#
- событие «A или B»: случилось хотя бы одно из двух, может, и оба
- Пересечение A∩B#
- событие «A и B»: случились оба сразу
- Несовместные события#
- не могут произойти вместе: P(A∩B) = 0, сложение без вычитания
- Формула включений и исключений#
- P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) — общий закон сложения для любых двух событий
- Общая формула умножения#
- P(A∩B) = P(A)·P(B|A); для независимых событий — P(A)·P(B)
- Приём «хотя бы один»#
- P(хотя бы один) = 1 − P(ни одного) через противоположное событие
Итак, ящик собран: сложение — для «или», умножение — для «и», противоположное событие — для «хотя бы один» и для длинных прямых путей. Дальше по курсу эти три ключа работают в связке: в одиннадцатом классе схема Бернулли перемножает шансы в сериях независимых испытаний, а случайные величины раскладывают сложный опыт на таблицу значений и вероятностей. Пока же прогони тренажёр и запомни главное: у каждой формулы есть условия работы, и два контрольных вопроса — совместность и зависимость — стоят полминуты, а спасают ползадачи.
Проверь себя
Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»
1 События A и B несовместны, P(A) = 0,3, P(B) = 0,4. Найди P(A или B).
2 Какие утверждения верны?
3 P(A) = 0,4, P(B) = 0,5, события совместны и P(A∩B) = 0,2. Сколько процентов составляет вероятность события «A или B»?
4 Если при вычислении вероятности события получилось 1,3, в решении точно есть ошибка.
5 Расставь события по возрастанию вероятности.
6 Соедини ситуацию с формулой.
Нажми на элемент слева, затем на его пару справа. Повторное нажатие отменяет связь.
7 Разложи пары событий по корзинам.
Разложи элементы по категориям: нажми на элемент, потом на категорию.
Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.
Частые вопросы
Чем несовместные события отличаются от независимых?
Несовместные события не могут произойти в одном опыте вместе: орёл и решка, валет и дама. Независимые события не влияют друг на друга и спокойно случаются одновременно. Для несовместных P(A∩B) = 0 и сложение идёт без вычитания; для независимых пересечение равно произведению вероятностей.
Почему из суммы вероятностей вычитают пересечение?
На диаграмме Эйлера общая часть кругов лежит и внутри A, и внутри B, поэтому при сложении P(A) + P(B) она учитывается дважды. Одно вхождение вычитают: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B). Без вычитания сумма может превысить единицу.
Когда работает приём «хотя бы один»?
Всегда: противоположным к «хотя бы один» является «ни одного», и P(хотя бы один) = 1 − P(ни одного). Приём спасает, когда прямой подсчёт требует перебирать много раскладок: противоположное событие считается одним умножением.
Чем P(A|B) отличается от P(A∩B)?
P(A∩B) — доля исходов, где случились оба события, от всех исходов опыта. P(A|B) — доля тех же исходов, но внутри события B. В классе из 30 человек, где в шахматы играют 12, в бассейн ходят 8, а на оба — 5: P(пересечения) = 5/30, а P(шахматы | бассейн) = 5/8 — числа разные.