Вероятности сложных событий: сложение, умножение, противоположные — тренажёр

Пример 1. Два стрелка независимо стреляют по своим мишеням по одному разу. Вероятность попадания первого равна 0,5, вероятность попадания второго равна 0,5. Сколько серий из 100 независимых пар выстрелов принесут событие «попал хотя бы один стрелок»?

Подсказка. Сначала найди вероятность пересечения «попали оба», потом вычти её из суммы вероятностей.

Как решать. События совместны и независимы. Пересечение: 1/2 · 5/10 = 5/20. По формуле включений и исключений P(хотя бы один) = 1/2 + 5/10 − 5/20 = (10 + 5)/20. В 100 сериях это 5·(10 + 5) = 50 + 5·5.

Ответ: 75

Пример 2. В лотерее 20 билетов, из них 2 выигрышных. Два билета вынимают подряд без возвращения. Сколько существует упорядоченных пар (первый вынутый билет, второй вынутый билет), в которых есть хотя бы один выигрышный билет?

Подсказка. Перейди к противоположному событию «оба билета без выигрыша» и посчитай его пары.

Как решать. Всего упорядоченных пар 20 · 19 = 380. Противоположное событие — оба билета пустые: таких пар (20 − 2) · (19 − 2). Вычитаем: 380 − (20 − 2)·(19 − 2) = 39·2 − 2·2 = 2·(39 − 2). Приём «хотя бы один» работает и в подсчёте вариантов.

Ответ: 74

Пример 3. За смену цех выпускает 100 приборов: 60 приборов собирают на первой линии, остальные — на второй. Доля брака на первой линии равна 0,2, на второй — 0,1. Сколько бракованных приборов выпустит цех за смену?

Подсказка. Доля брака умножается на число приборов каждой линии — это произведение «попал на линию» и «брак».

Как решать. Брак первой линии: 0,2 · 60 = 2·6 приборов. Брак второй линии: 0,1 · (100 − 60) = 10 − 6 приборов. Итого 2·6 + 10 − 6 = 6 + 10. Это умножение вдоль путей дерева опыта: линия, затем брак.

Ответ: 16

Пример 4. Шанс выиграть в одной моментальной лотерее равен 0,7. Куплены две независимые лотереи. Сколько процентов составляет вероятность того, что выиграет хотя бы одна из них?

Подсказка. От события «хотя бы одна» уйди к противоположному «ни одной» и возведи шанс неудачи в квадрат.

Как решать. Противоположное событие — не выиграла ни одна: шанс (10 − 7)/10 на каждую, то есть ((10 − 7)/10)² = (10 − 7)²/100. Тогда P(хотя бы одна) = (100 − (10 − 7)²)/100 = (20·7 − 7·7)/100. В процентах: 20·7 − 7·7.

Ответ: 91

Пример 5. Два стрелка независимо стреляют по своим мишеням по одному разу. Вероятность попадания первого равна 0,5, вероятность попадания второго равна 0,1. Сколько серий из 100 независимых пар выстрелов принесут событие «попал хотя бы один стрелок»?

Подсказка. Сначала найди вероятность пересечения «попали оба», потом вычти её из суммы вероятностей.

Как решать. События совместны и независимы. Пересечение: 1/2 · 1/10 = 1/20. По формуле включений и исключений P(хотя бы один) = 1/2 + 1/10 − 1/20 = (10 + 1)/20. В 100 сериях это 5·(10 + 1) = 50 + 5·1.

Ответ: 55

Пример 6. В лотерее 20 билетов, из них 8 выигрышных. Два билета вынимают подряд без возвращения. Сколько существует упорядоченных пар (первый вынутый билет, второй вынутый билет), в которых есть хотя бы один выигрышный билет?

Подсказка. Перейди к противоположному событию «оба билета без выигрыша» и посчитай его пары.

Как решать. Всего упорядоченных пар 20 · 19 = 380. Противоположное событие — оба билета пустые: таких пар (20 − 8) · (19 − 8). Вычитаем: 380 − (20 − 8)·(19 − 8) = 39·8 − 8·8 = 8·(39 − 8). Приём «хотя бы один» работает и в подсчёте вариантов.

Ответ: 248

Пример 7. За смену цех выпускает 100 приборов: 20 приборов собирают на первой линии, остальные — на второй. Доля брака на первой линии равна 0,2, на второй — 0,1. Сколько бракованных приборов выпустит цех за смену?

Подсказка. Доля брака умножается на число приборов каждой линии — это произведение «попал на линию» и «брак».

Как решать. Брак первой линии: 0,2 · 20 = 2·2 приборов. Брак второй линии: 0,1 · (100 − 20) = 10 − 2 приборов. Итого 2·2 + 10 − 2 = 2 + 10. Это умножение вдоль путей дерева опыта: линия, затем брак.

Ответ: 12

Пример 8. Шанс выиграть в одной моментальной лотерее равен 0,5. Куплены две независимые лотереи. Сколько процентов составляет вероятность того, что выиграет хотя бы одна из них?

Подсказка. От события «хотя бы одна» уйди к противоположному «ни одной» и возведи шанс неудачи в квадрат.

Как решать. Противоположное событие — не выиграла ни одна: шанс (10 − 5)/10 на каждую, то есть ((10 − 5)/10)² = (10 − 5)²/100. Тогда P(хотя бы одна) = (100 − (10 − 5)²)/100 = (20·5 − 5·5)/100. В процентах: 20·5 − 5·5.

Ответ: 75

Пример 9. Два стрелка независимо стреляют по своим мишеням по одному разу. Вероятность попадания первого равна 0,5, вероятность попадания второго равна 0,4. Сколько серий из 100 независимых пар выстрелов принесут событие «попал хотя бы один стрелок»?

Подсказка. Сначала найди вероятность пересечения «попали оба», потом вычти её из суммы вероятностей.

Как решать. События совместны и независимы. Пересечение: 1/2 · 4/10 = 4/20. По формуле включений и исключений P(хотя бы один) = 1/2 + 4/10 − 4/20 = (10 + 4)/20. В 100 сериях это 5·(10 + 4) = 50 + 5·4.

Ответ: 70

Пример 10. В лотерее 20 билетов, из них 5 выигрышных. Два билета вынимают подряд без возвращения. Сколько существует упорядоченных пар (первый вынутый билет, второй вынутый билет), в которых есть хотя бы один выигрышный билет?

Подсказка. Перейди к противоположному событию «оба билета без выигрыша» и посчитай его пары.

Как решать. Всего упорядоченных пар 20 · 19 = 380. Противоположное событие — оба билета пустые: таких пар (20 − 5) · (19 − 5). Вычитаем: 380 − (20 − 5)·(19 − 5) = 39·5 − 5·5 = 5·(39 − 5). Приём «хотя бы один» работает и в подсчёте вариантов.

Ответ: 170

Пример 11. Шанс выиграть в одной моментальной лотерее равен 0,4. Куплены две независимые лотереи. Сколько процентов составляет вероятность того, что выиграет хотя бы одна из них?

Подсказка. От события «хотя бы одна» уйди к противоположному «ни одной» и возведи шанс неудачи в квадрат.

Как решать. Противоположное событие — не выиграла ни одна: шанс (10 − 4)/10 на каждую, то есть ((10 − 4)/10)² = (10 − 4)²/100. Тогда P(хотя бы одна) = (100 − (10 − 4)²)/100 = (20·4 − 4·4)/100. В процентах: 20·4 − 4·4.

Ответ: 64

Пример 12. Два стрелка независимо стреляют по своим мишеням по одному разу. Вероятность попадания первого равна 0,5, вероятность попадания второго равна 0,7. Сколько серий из 100 независимых пар выстрелов принесут событие «попал хотя бы один стрелок»?

Подсказка. Сначала найди вероятность пересечения «попали оба», потом вычти её из суммы вероятностей.

Как решать. События совместны и независимы. Пересечение: 1/2 · 7/10 = 7/20. По формуле включений и исключений P(хотя бы один) = 1/2 + 7/10 − 7/20 = (10 + 7)/20. В 100 сериях это 5·(10 + 7) = 50 + 5·7.

Ответ: 85

Пример 13. За смену цех выпускает 100 приборов: 70 приборов собирают на первой линии, остальные — на второй. Доля брака на первой линии равна 0,2, на второй — 0,1. Сколько бракованных приборов выпустит цех за смену?

Подсказка. Доля брака умножается на число приборов каждой линии — это произведение «попал на линию» и «брак».

Как решать. Брак первой линии: 0,2 · 70 = 2·7 приборов. Брак второй линии: 0,1 · (100 − 70) = 10 − 7 приборов. Итого 2·7 + 10 − 7 = 7 + 10. Это умножение вдоль путей дерева опыта: линия, затем брак.

Ответ: 17

Пример 14. Шанс выиграть в одной моментальной лотерее равен 0,1. Куплены две независимые лотереи. Сколько процентов составляет вероятность того, что выиграет хотя бы одна из них?

Подсказка. От события «хотя бы одна» уйди к противоположному «ни одной» и возведи шанс неудачи в квадрат.

Как решать. Противоположное событие — не выиграла ни одна: шанс (10 − 1)/10 на каждую, то есть ((10 − 1)/10)² = (10 − 1)²/100. Тогда P(хотя бы одна) = (100 − (10 − 1)²)/100 = (20·1 − 1·1)/100. В процентах: 20·1 − 1·1.

Ответ: 19

Пример 15. В лотерее 20 билетов, из них 9 выигрышных. Два билета вынимают подряд без возвращения. Сколько существует упорядоченных пар (первый вынутый билет, второй вынутый билет), в которых есть хотя бы один выигрышный билет?

Подсказка. Перейди к противоположному событию «оба билета без выигрыша» и посчитай его пары.

Как решать. Всего упорядоченных пар 20 · 19 = 380. Противоположное событие — оба билета пустые: таких пар (20 − 9) · (19 − 9). Вычитаем: 380 − (20 − 9)·(19 − 9) = 39·9 − 9·9 = 9·(39 − 9). Приём «хотя бы один» работает и в подсчёте вариантов.

Ответ: 270

Вопрос 1. События A и B несовместны, P(A) = 0,3, P(B) = 0,4. Найди P(A или B).

Ответ: 0,7

Пояснение. Несовместные события не пересекаются: 0,3 + 0,4 = 0,7. Вариант 0,12 — это произведение, будто события независимы; 0,58 — лишнее вычитание несуществующего пересечения; 1,2 — явный сигнал ошибки: вероятность не бывает больше единицы.

Вопрос 2. Какие утверждения верны?

Ответ: P(не A) = 1 − P(A) верно для любого события; P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) верно для любых двух событий; P(A∩B) = P(A)·P(B) верно для независимых событий

Пояснение. Противоположное событие работает всегда; включения и исключения — общий закон сложения; умножение верно при независимости, и оговорка в варианте есть. Третье утверждение забывает вычесть пересечение: без вычитания оно годится только для несовместных событий.

Вопрос 3. P(A) = 0,4, P(B) = 0,5, события совместны и P(A∩B) = 0,2. Сколько процентов составляет вероятность события «A или B»?

Ответ: 70

Пояснение. По формуле включений и исключений: 0,4 + 0,5 − 0,2 = 0,7. Переводим в проценты: 70.

Вопрос 4. Если при вычислении вероятности события получилось 1,3, в решении точно есть ошибка.

Ответ: Верно

Пояснение. Вероятность не превышает единицу. Числа больше единицы обычно рождаются при сложении вероятностей совместных событий без вычитания пересечения — сигнал вернуться к формуле включений и исключений.

Вопрос 5. Расставь события по возрастанию вероятности.

Ответ: два независимых события с вероятностями 0,5 и 0,5 произошли оба → случилось ровно одно из двух несовместных событий с вероятностями 0,2 и 0,25 → случилось хотя бы одно из двух несовместных событий с вероятностями 0,3 и 0,25 → событие с вероятностью 0,3 не произошло

Пояснение. Считаем: «не произошло» — 1 − 0,3 = 0,7; «оба» — 0,5 · 0,5 = 0,25; «хотя бы одно» из несовместных — 0,3 + 0,25 = 0,55; «ровно одно» — 0,2 + 0,25 = 0,45. По возрастанию: 0,25; 0,45; 0,55; 0,7.

Вопрос 6. Соедини ситуацию с формулой.

Пояснение. Несовместным вычитать нечего; совместным обязательно вычитаем пересечение; независимые события перемножаются; противоположное дополняет вероятность до единицы.

Вопрос 7. Разложи пары событий по корзинам.

Пояснение. Орёл и решка в одном броске, валет и дама, число больше шести — вместе произойти не могут. Два попадания, чётное и больше четырёх (общая часть — шестёрка), два выигрышных билета — совместны: у пересечения есть исходы.