Комбинаторика: перебор вариантов и правило умножения — тренажёр
Тренировка по теме «Комбинаторика: перебор вариантов и правило умножения»: задачи с меняющимися числами, мгновенная проверка, подсказка и подробный разбор к каждой. Ниже — шпаргалка по теме, разобранные примеры и ответы на частые вопросы.
Тренировка
0/81 В шкафу 6 футболок и 4 пары шорт. Сколько есть комплектов «футболка и шорты»?
Выбери ответ и нажми «Проверить». Подсказка рядом — пользоваться не стыдно.
Разбор примеров из тренажёра
16 задач из пула этого тренажёра с полной логикой решения: условие, подсказка, как решать и ответ. В самом тренажёре числа в каждой задаче обновляются от раунда к раунду — принцип решения остаётся тем же.
Пример 1. В шкафу 7 футболок и 4 пары шорт. Сколько есть комплектов «футболка и шорты»?
Подсказка. Правило произведения: перемножь варианты шагов.
Как решать. Каждая из 7 футболок сочетается с каждой из 4 пар шорт: 7 · 4 = 4·7.
Ответ: 28
Пример 2. Код из двух позиций: на первой одна из 5 букв, на второй — одна из оставшихся 5 − 1 букв, повторять нельзя. Сколько кодов?
Подсказка. После первого выбора одна буква занята.
Как решать. На первой позиции 5 вариантов, на второй на один меньше: 5 · (5 − 1).
Ответ: 20
Пример 3. В киоске 7 видов открыток и 7 + 4 видов марок. Сколькими способами можно выбрать один предмет: открытку или марку?
Подсказка. Союз «или» для непересекающихся групп — это сложение.
Как решать. Группы не пересекаются, значит складываем: 7 + (7 + 4) = 2·7 + 4.
Ответ: 18
Пример 4. Составляют коды длиной 8 из цифр 1 и 2: каждая цифра может стоять на любой позиции. Сколько существует таких кодов?
Подсказка. Каждая позиция удваивает число кодов.
Как решать. Позиций 8, на каждой по 2 варианта: 2 · 2 · … · 2 — всего 2 в степени 8.
Ответ: 256
Пример 5. В шкафу 5 футболок и 4 пары шорт. Сколько есть комплектов «футболка и шорты»?
Подсказка. Правило произведения: перемножь варианты шагов.
Как решать. Каждая из 5 футболок сочетается с каждой из 4 пар шорт: 5 · 4 = 4·5.
Ответ: 20
Пример 6. Код из двух позиций: на первой одна из 8 букв, на второй — одна из оставшихся 8 − 1 букв, повторять нельзя. Сколько кодов?
Подсказка. После первого выбора одна буква занята.
Как решать. На первой позиции 8 вариантов, на второй на один меньше: 8 · (8 − 1).
Ответ: 56
Пример 7. В киоске 6 видов открыток и 6 + 4 видов марок. Сколькими способами можно выбрать один предмет: открытку или марку?
Подсказка. Союз «или» для непересекающихся групп — это сложение.
Как решать. Группы не пересекаются, значит складываем: 6 + (6 + 4) = 2·6 + 4.
Ответ: 16
Пример 8. Составляют коды длиной 6 из цифр 1 и 2: каждая цифра может стоять на любой позиции. Сколько существует таких кодов?
Подсказка. Каждая позиция удваивает число кодов.
Как решать. Позиций 6, на каждой по 2 варианта: 2 · 2 · … · 2 — всего 2 в степени 6.
Ответ: 64
Пример 9. В шкафу 6 футболок и 4 пары шорт. Сколько есть комплектов «футболка и шорты»?
Подсказка. Правило произведения: перемножь варианты шагов.
Как решать. Каждая из 6 футболок сочетается с каждой из 4 пар шорт: 6 · 4 = 4·6.
Ответ: 24
Пример 10. Код из двух позиций: на первой одна из 7 букв, на второй — одна из оставшихся 7 − 1 букв, повторять нельзя. Сколько кодов?
Подсказка. После первого выбора одна буква занята.
Как решать. На первой позиции 7 вариантов, на второй на один меньше: 7 · (7 − 1).
Ответ: 42
Пример 11. Составляют коды длиной 5 из цифр 1 и 2: каждая цифра может стоять на любой позиции. Сколько существует таких кодов?
Подсказка. Каждая позиция удваивает число кодов.
Как решать. Позиций 5, на каждой по 2 варианта: 2 · 2 · … · 2 — всего 2 в степени 5.
Ответ: 32
Пример 12. В шкафу 8 футболок и 4 пары шорт. Сколько есть комплектов «футболка и шорты»?
Подсказка. Правило произведения: перемножь варианты шагов.
Как решать. Каждая из 8 футболок сочетается с каждой из 4 пар шорт: 8 · 4 = 4·8.
Ответ: 32
Пример 13. Код из двух позиций: на первой одна из 9 букв, на второй — одна из оставшихся 9 − 1 букв, повторять нельзя. Сколько кодов?
Подсказка. После первого выбора одна буква занята.
Как решать. На первой позиции 9 вариантов, на второй на один меньше: 9 · (9 − 1).
Ответ: 72
Пример 14. В киоске 8 видов открыток и 8 + 4 видов марок. Сколькими способами можно выбрать один предмет: открытку или марку?
Подсказка. Союз «или» для непересекающихся групп — это сложение.
Как решать. Группы не пересекаются, значит складываем: 8 + (8 + 4) = 2·8 + 4.
Ответ: 20
Пример 15. Составляют коды длиной 2 из цифр 1 и 2: каждая цифра может стоять на любой позиции. Сколько существует таких кодов?
Подсказка. Каждая позиция удваивает число кодов.
Как решать. Позиций 2, на каждой по 2 варианта: 2 · 2 · … · 2 — всего 2 в степени 2.
Ответ: 4
Пример 16. В киоске 5 видов открыток и 5 + 4 видов марок. Сколькими способами можно выбрать один предмет: открытку или марку?
Подсказка. Союз «или» для непересекающихся групп — это сложение.
Как решать. Группы не пересекаются, значит складываем: 5 + (5 + 4) = 2·5 + 4.
Ответ: 14
Вопросы для повторения темы
Контрольные вопросы по «Комбинаторика: перебор вариантов и правило умножения» с верными ответами и пояснениями — проверь себя до запуска тренажёра.
Вопрос 1. Замок состоит из трёх барабанов, на каждом 10 цифр. Сколько у него разных кодов, если цифры могут повторяться?
Ответ: 1000
Пояснение. Три шага по 10 вариантов, каждый с каждым: 10 · 10 · 10 = 1000. Вариант 720 получился бы при запрете повторов, но повторять цифры здесь можно.
Вопрос 2. В каких задачах работает правило произведения?
Ответ: выбрать футболку и шорты для тренировки; набрать код из трёх цифр подряд
Пояснение. Произведение работает там, где шаги идут подряд и каждый вариант первого сочетается с каждым вариантом второго: комплект и код. Выбор одного объекта из групп — это правило суммы.
Вопрос 3. Сколько трёхзначных кодов можно составить из трёх разных цифр 1, 2, 3 (цифры не повторяются)?
Ответ: 6
Пояснение. 3 · 2 · 1 = 6: первая цифра — 3 варианта, вторая — 2, третья — 1. Перебор подтверждает: 123, 132, 213, 231, 312, 321.
Вопрос 4. Если объекты выбирают из пересекающихся групп союзом «или», достаточно сложить размеры групп.
Ответ: Неверно
Пояснение. Общие объекты посчитаются дважды. Верное правило: n1 + n2 минус пересечение, как в задаче про секции: 12 + 8 − 3 = 17.
Вопрос 5. Расставь задачи по возрастанию числа вариантов.
Ответ: коды из двух разных цифр набора 1, 2, 3 → маршруты: 3 улицы и затем 4 переулка → обед: 3 супа, 4 вторых блюда и 2 напитка → коды из трёх барабанов по 10 цифр
Пояснение. Считаем каждое: 3 · 2 = 6 кодов, 3 · 4 = 12 маршрутов, 3 · 4 · 2 = 24 обеда и 10 · 10 · 10 = 1000 кодов. Отсюда порядок: 6, 12, 24, 1000.
Вопрос 6. Соедини задачу с числом вариантов.
Пояснение. Выбор одного из непересекающихся групп — сумма; комплект и коды — произведение; у спортсменов группы пересекаются, поэтому пересечение вычитаем.
Вопрос 7. Разложи задачи по правилам.
Пояснение. Слово «или» между взаимоисключающими вариантами — правило суммы. Цепочка шагов, где каждый сочетается с каждым, — правило произведения.