Перестановки и факториалы — тренажёр
Тренировка по теме «Перестановки и факториалы»: задачи с меняющимися числами, мгновенная проверка, подсказка и подробный разбор к каждой. Ниже — шпаргалка по теме, разобранные примеры и ответы на частые вопросы.
Тренировка
0/81 Сигнал выкладывают из 5 одинаковых красных флажков и 2 одинаковых синих флажков, используя все флажки. Сколько различных сигналов можно получить?
Выбери ответ и нажми «Проверить». Подсказка рядом — пользоваться не стыдно.
Разбор примеров из тренажёра
16 задач из пула этого тренажёра с полной логикой решения: условие, подсказка, как решать и ответ. В самом тренажёре числа в каждой задаче обновляются от раунда к раунду — принцип решения остаётся тем же.
Пример 1. Сигнал выкладывают из 7 одинаковых красных флажков и 2 одинаковых синих флажков, используя все флажки. Сколько различных сигналов можно получить?
Подсказка. Сократи (7+2)! на 7! — останется произведение двух соседних чисел, делённое пополам.
Как решать. Всего 7+2 флажка. Число перестановок с повторениями: (7+2)!/(7!·2!) = (7+1)·(7+2)/2.
Ответ: 36
Пример 2. К очереди из 3 человек подошёл ещё один. Во сколько раз увеличилось число возможных порядков очереди?
Подсказка. Новый человек может встать на любое из 3+1 мест — каждая старая расстановка умножается.
Как решать. Было 3! порядков, стало (3+1)! = (3+1)·3!. Отношение равно 3+1: новый человек добавляет один множитель.
Ответ: 4
Пример 3. На полку в случайном порядке ставят 6 разных книг. Сколько порядков ставят на первое место одну из 4 выбранных книг?
Подсказка. Первое место даёт 4 вариантов, на остальные пять мест — 5!.
Как решать. На первом месте может стоять любая из 4 книг, остальные пять переставляются свободно: 5! = 120 способов на каждую. Итого 4·120.
Ответ: 480
Пример 4. Слово составляют из 8 одинаковых букв А, трёх одинаковых букв Б и одной буквы В, используя все буквы. Сколько различных слов получится?
Подсказка. После сокращения на 8! останется произведение четырёх соседних чисел, делённое на 3!.
Как решать. Всего 8+4 буквы. Делим (8+4)! на 8! за буквы А и на 3! за буквы Б: (8+1)·(8+2)·(8+3)·(8+4)/6.
Ответ: 1980
Пример 5. Сигнал выкладывают из 5 одинаковых красных флажков и 2 одинаковых синих флажков, используя все флажки. Сколько различных сигналов можно получить?
Подсказка. Сократи (5+2)! на 5! — останется произведение двух соседних чисел, делённое пополам.
Как решать. Всего 5+2 флажка. Число перестановок с повторениями: (5+2)!/(5!·2!) = (5+1)·(5+2)/2.
Ответ: 21
Пример 6. К очереди из 8 человек подошёл ещё один. Во сколько раз увеличилось число возможных порядков очереди?
Подсказка. Новый человек может встать на любое из 8+1 мест — каждая старая расстановка умножается.
Как решать. Было 8! порядков, стало (8+1)! = (8+1)·8!. Отношение равно 8+1: новый человек добавляет один множитель.
Ответ: 9
Пример 7. На полку в случайном порядке ставят 6 разных книг. Сколько порядков ставят на первое место одну из 3 выбранных книг?
Подсказка. Первое место даёт 3 вариантов, на остальные пять мест — 5!.
Как решать. На первом месте может стоять любая из 3 книг, остальные пять переставляются свободно: 5! = 120 способов на каждую. Итого 3·120.
Ответ: 360
Пример 8. Слово составляют из 7 одинаковых букв А, трёх одинаковых букв Б и одной буквы В, используя все буквы. Сколько различных слов получится?
Подсказка. После сокращения на 7! останется произведение четырёх соседних чисел, делённое на 3!.
Как решать. Всего 7+4 буквы. Делим (7+4)! на 7! за буквы А и на 3! за буквы Б: (7+1)·(7+2)·(7+3)·(7+4)/6.
Ответ: 1320
Пример 9. Сигнал выкладывают из 6 одинаковых красных флажков и 2 одинаковых синих флажков, используя все флажки. Сколько различных сигналов можно получить?
Подсказка. Сократи (6+2)! на 6! — останется произведение двух соседних чисел, делённое пополам.
Как решать. Всего 6+2 флажка. Число перестановок с повторениями: (6+2)!/(6!·2!) = (6+1)·(6+2)/2.
Ответ: 28
Пример 10. К очереди из 6 человек подошёл ещё один. Во сколько раз увеличилось число возможных порядков очереди?
Подсказка. Новый человек может встать на любое из 6+1 мест — каждая старая расстановка умножается.
Как решать. Было 6! порядков, стало (6+1)! = (6+1)·6!. Отношение равно 6+1: новый человек добавляет один множитель.
Ответ: 7
Пример 11. Слово составляют из 6 одинаковых букв А, трёх одинаковых букв Б и одной буквы В, используя все буквы. Сколько различных слов получится?
Подсказка. После сокращения на 6! останется произведение четырёх соседних чисел, делённое на 3!.
Как решать. Всего 6+4 буквы. Делим (6+4)! на 6! за буквы А и на 3! за буквы Б: (6+1)·(6+2)·(6+3)·(6+4)/6.
Ответ: 840
Пример 12. Сигнал выкладывают из 8 одинаковых красных флажков и 2 одинаковых синих флажков, используя все флажки. Сколько различных сигналов можно получить?
Подсказка. Сократи (8+2)! на 8! — останется произведение двух соседних чисел, делённое пополам.
Как решать. Всего 8+2 флажка. Число перестановок с повторениями: (8+2)!/(8!·2!) = (8+1)·(8+2)/2.
Ответ: 45
Пример 13. На полку в случайном порядке ставят 6 разных книг. Сколько порядков ставят на первое место одну из 5 выбранных книг?
Подсказка. Первое место даёт 5 вариантов, на остальные пять мест — 5!.
Как решать. На первом месте может стоять любая из 5 книг, остальные пять переставляются свободно: 5! = 120 способов на каждую. Итого 5·120.
Ответ: 600
Пример 14. Слово составляют из 5 одинаковых букв А, трёх одинаковых букв Б и одной буквы В, используя все буквы. Сколько различных слов получится?
Подсказка. После сокращения на 5! останется произведение четырёх соседних чисел, делённое на 3!.
Как решать. Всего 5+4 буквы. Делим (5+4)! на 5! за буквы А и на 3! за буквы Б: (5+1)·(5+2)·(5+3)·(5+4)/6.
Ответ: 504
Пример 15. К очереди из 9 человек подошёл ещё один. Во сколько раз увеличилось число возможных порядков очереди?
Подсказка. Новый человек может встать на любое из 9+1 мест — каждая старая расстановка умножается.
Как решать. Было 9! порядков, стало (9+1)! = (9+1)·9!. Отношение равно 9+1: новый человек добавляет один множитель.
Ответ: 10
Пример 16. На полку в случайном порядке ставят 6 разных книг. Сколько порядков ставят на первое место одну из 2 выбранных книг?
Подсказка. Первое место даёт 2 вариантов, на остальные пять мест — 5!.
Как решать. На первом месте может стоять любая из 2 книг, остальные пять переставляются свободно: 5! = 120 способов на каждую. Итого 2·120.
Ответ: 240
Вопросы для повторения темы
Контрольные вопросы по «Перестановки и факториалы» с верными ответами и пояснениями — проверь себя до запуска тренажёра.
Вопрос 1. Сколько разных порядков может иметь расписание из шести разных уроков?
Ответ: 720
Пояснение. Это перестановки шести предметов: 6! = 6 · 5! = 720. Вариант 36 — это 6 · 6, а факториал растёт быстрее квадрата.
Вопрос 2. Какие равенства верны?
Ответ: 0! = 1; 1! = 1; n! = n · (n − 1)!
Пояснение. Пустая расстановка — один способ, поэтому 0! = 1; одну книгу расставляем одним способом; 5! = 120, а не 60; рекуррентная формула верна для любого натурального n.
Вопрос 3. Сколько различных слов можно составить из всех букв слова МАМА?
Ответ: 6
Пояснение. Считаем буквы различными: 4! = 24, но каждая настоящая расстановка посчитана 2! · 2! = 4 раза. Делим: 24 : 4 = 6.
Вопрос 4. Число 10! больше миллиона.
Ответ: Верно
Пояснение. 10! = 3 628 800 — почти в четыре раза больше миллиона: факториал обгоняет степени уже к десятке.
Вопрос 5. Расставь величины по возрастанию.
Ответ: перестановки двух предметов → слова из букв слова МАМА → порядки очереди из четырёх человек → слова из букв слова БАНАН
Пояснение. Значения: 2! = 2, слова из МАМЫ — 6, очередь из четырёх — 4! = 24, слова из БАНАНА — 5!/(2!·2!) = 30. Порядок: два предмета, МАМА, очередь, БАНАН.
Вопрос 6. Соедини фразу с числом.
Пояснение. 5! = 120; в СОСНЕ повторяется только С, поэтому 5!/2! = 60; пустая расстановка ровно одна; 8! = 8 · 7!, разрыв ровно в восемь раз.
Вопрос 7. Разложи задачи по способу подсчёта.
Пояснение. Пока все объекты различны, работает n!: чашки, очередь, АРБУЗ. Появились одинаковые — делим на факториалы повторений: МАМА, флажки, БАНАН.