ЕГЭ · Математика (профиль) · задание 162 балла · ≈20 мин

Задание 16 ЕГЭ: Планиметрия с доказательством

Геометрия на два балла: в пункте а) доказывают (подобие, равенство углов, свойство касательной или медианы), в пункте б) находят длину, площадь или отношение. Баллы снимают за пропущенные обоснования, поэтому каждый шаг нужно подпитывать названием факта.

Все задания Математика (профиль)

Что проверяет задание

Треугольники, окружности, подобие. Это задание второй части — здесь нужен развёрнутый ответ с полным решением. Его проверяет эксперт, поэтому оформление и логика шагов так же важны, как сам ответ.

Формулы к заданию

∠ A B C = \frac{1}{2} A C

вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается

\frac{S _{1}}{S _{2}} = k^{2}

отношение площадей подобных фигур — квадрат коэффициента подобия

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ

теорема косинусов

A T^{2} = A B \cdot A C

квадрат касательной: T — точка касания, A — внешняя точка, B ближе к A

Разбор типовых задач

Пример 1

В треугольнике ABC стороны AB = 12, BC = 5, AC = 13. Точка M — середина AC. а) Докажите, что BM = 6,5. б) Найдите радиус описанной окружности.

Решение по шагам

Проверяем обратную теорему Пифагора: угол B прямой.
$5^{2} + 1 2^{2} = 25 + 144 = 169 = 1 3^{2}$
Медиана из вершины прямого угла равна половине гипотенузы.
$B M = \frac{A C}{2} = 6, 5$
Точка M равноудалена от всех вершин, значит M — центр описанной окружности.
Радиус равен BM.

Ответ: а) доказано; б) 6,5

Пример 2

Из точки A проведены касательная AT и секущая через центр окружности O. Радиус равен 5, AO = 13. а) Докажите, что треугольник ATO прямоугольный. б) Найдите AT.

Решение по шагам

Радиус в точку касания перпендикулярен касательной: OT ⊥ AT.
Значит, ATO прямоугольный: катеты OT и AT, гипотенуза AO.
Теорема Пифагора для AT.
$A T^{2} = 1 3^{2} - 5^{2} = 169 - 25 = 144$
Извлекаем корень: AT = 12.

Ответ: а) доказано; б) 12

Пример 3

В трапеции ABCD основания BC = 6 и AD = 12 параллельны. Диагонали пересекаются в точке O, BO = 4. а) Докажите, что треугольники BOC и DOA подобны. б) Найдите OD.

Решение по шагам

Углы при вершинах B и D, а также C и A равны как накрест лежащие при параллельных BC и AD.
Треугольники BOC и DOA подобны по двум углам.
Коэффициент подобия — отношение оснований.
$k = \frac{B C}{A D} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
Стороны BO и DO сходственные, поэтому OD вдвое больше BO.
$\frac{B O}{O D} = \frac{1}{2} \Rightarrow O D = 8$

Ответ: а) доказано; б) 8

Тренажёр задания (числа меняются)

Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»

В прямоугольном треугольнике гипотенуза 11, один катет 4. Чему равен квадрат второго катета?

Вписанный угол равен 19°. Найди центральный угол, опирающийся на ту же дугу (в градусах).

Треугольники подобны с коэффициентом 2. Площадь первого равна 3. Найди площадь второго.

Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна 7. Найди гипотенузу.

Из внешней точки проведены касательная и секущая. Внешняя часть секущей равна 2, хорда внутри окружности — 4. Найди квадрат длины касательной.

Основания трапеции равны 6 и 11, высота — 6. Найди площадь.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза 12, один катет 7. Чему равен квадрат второго катета?

Вписанный угол равен 18°. Найди центральный угол, опирающийся на ту же дугу (в градусах).

Типичные ошибки

Путают вписанный и центральный угол: вписанный равен ПОЛОВИНЕ дуги, центральный — всей дуге.
В подобии делят не те стороны: отношение берут между сходственными сторонами (те, что лежат против равных углов).
Пишут «треугольники подобны» без признака и без перечисления равных углов — за это снимают балл в пункте а).
Применяют теорему Пифагора, не убедившись, что треугольник прямоугольный.

Повторить теорию по математике (профиль)

Разбор задания опирается на формулы и приёмы — если тема вспоминается с трудом, сначала пробегите уроки:

Формат задания 16 на экзамене

Балл за задание: 2. Ориентир по времени: ≈20 минут вместе с оформлением решения. Проверяемая тема: треугольники, окружности, подобие. На тренировке лимитов нет — сначала точность, скорость придёт после 10–15 решённых задач. Планируйте экзамен так, чтобы не застревать: если решение не идёт — зафиксируйте промежуточный результат, переходите дальше и возвращайтесь в конце, потому что остальные задания дадут больше суммарных баллов.

Частые вопросы про задание 16

Можно ли решать задачу 16 координатным методом?

Да, если удобно ввести координаты. Но классическое решение через подобие или вписанные углы обычно короче и его проще аккуратно оформить.

Сколько писать в доказательстве, чтобы не сняли балл?

Каждый шаг — с причиной. Хватит одного-двух слов на переход: «вертикальные», «накрест лежащие», «по двум углам». Голое «они подобны» без указания углов — минус балл.

Чертёж обязателен или это трата времени?

Обязателен, от руки. Он нужен тебе, чтобы не запутаться в точках, и эксперту, чтобы сверить логику. На баллы рисунок не влияет, но без него ошибок больше.

Что проверяет задание

Формулы к заданию

Разбор типовых задач

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Тренажёр задания (числа меняются)

Типичные ошибки

Повторить теорию по математике (профиль)

Формат задания 16 на экзамене

Частые вопросы про задание 16

Похожие задания