Задание 18 ЕГЭ: Числа и их свойства (делимость и прогрессии)
Олимпиадная арифметика: деление с остатком, делимость, прогрессии, уравнения в натуральных числах. Типовой сценарий: а) привести пример, б) найти все варианты или доказать утверждение. Перебор «наугад» здесь не работает — работает система: разложение на множители, остатки, симметричные обозначения.
Что проверяет задание
Делимость, прогрессии, олимпиадная арифметика. Это задание второй части — здесь нужен развёрнутый ответ с полным решением. Его проверяет эксперт, поэтому оформление и логика шагов так же важны, как сам ответ.
Формулы к заданию
Разбор типовых задач
Пример 1
Найдите все пары натуральных чисел, произведение которых на 16 больше их суммы.
- Переводим условие в уравнение.
- Прибавляем 1 к обеим частям — левая часть сворачивается в произведение.
- 17 — простое число, поэтому a − 1 = 1 и b − 1 = 17 (или наоборот).
- Получаем пару 2 и 18. Проверка: 2·18 = 36 = 2 + 18 + 16. Верно, других пар нет.
Ответ: 2 и 18
Пример 2
Три числа образуют арифметическую прогрессию. Их сумма равна 27, а произведение — 585. Найдите эти числа.
- Обозначаем числа симметрично: a − d, a, a + d. Сумма упрощается.
- Произведение через d.
- Делим на 9 и решаем.
- Числа 5, 9, 13 (порядок не важен). Проверка: 5·9·13 = 585.
Ответ: 5, 9, 13
Пример 3
а) Докажите, что произведение трёх последовательных натуральных чисел делится на 6. б) Чему равен остаток от деления 998·999·1000 на 6?
- Из трёх последовательных чисел одно чётно, значит произведение делится на 2.
- Из трёх последовательных чисел одно кратно 3 (остатки 0, 1, 2 повторяются), значит произведение делится на 3.
- 2 и 3 взаимно просты, поэтому произведение делится на 6.
- 998, 999, 1000 — три последовательных числа, значит произведение делится на 6 нацело.
Ответ: а) доказано; б) 0
Тренажёр задания (числа меняются)
Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»
1 Число при делении на 5 даёт частное 6 и остаток 1. Найди это число.
2 В арифметической прогрессии a₁ = 8, разность d = 5. Найди 5-й член.
3 Найди сумму первых 7 членов арифметической прогрессии, если a₁ = 7, d = 3.
4 Среднее из трёх последовательных натуральных чисел равно 19. Найди их сумму.
5 Число n даёт остаток 2 при делении на 7. Какой остаток даёт число n + 7 при делении на 7?
6 В геометрической прогрессии b₁ = 4, знаменатель q = 2. Найди третий член.
7 Число при делении на 8 даёт частное 12 и остаток 2. Найди это число.
8 В арифметической прогрессии a₁ = 2, разность d = 6. Найди 6-й член.
Типичные ошибки
- Подбирают числа хаотично. Перебор должен быть системным: от меньших к большим, с проверкой всех условий и понятной границей остановки.
- Находят пример, но не проверяют его подстановкой в оба условия задачи — эксперт этого ждёт.
- В прогрессиях путают номер члена и количество слагаемых: a_n = a_1 + (n−1)d — про член, формула с n/2 — про сумму.
- В доказательствах делимости пишут «очевидно» там, где нужно объяснение: например, почему среди трёх последовательных чисел есть кратное 3.
Повторить теорию по математике (профиль)
Разбор задания опирается на формулы и приёмы — если тема вспоминается с трудом, сначала пробегите уроки:
- 10 классЛогарифмическая функция, её график и свойстваГрафик y = log_a x: откуда берётся логарифмическая кривая, почему аргумент строго положителен, как меняется монотонность при смене основания — с примерами и тренажёром.
- 10 классМножества и события: операции и диаграммы ЭйлераМножества как язык событий для 10 класса: элементы и подмножества, объединение, пересечение, разность и дополнение, круги Эйлера, несовместные и противоположные события, перевод союзов «или» и «и», число элементов объединения.
- 10 классПравильная пирамида: апофема и площадь поверхности — геометрия 10 классПравильная пирамида: апофема через теорему Пифагора, площадь боковой поверхности как половина периметра на апофему — на примере раскроя шатра.
Формат задания 18 на экзамене
Балл за задание: 2. Ориентир по времени: ≈25 минут вместе с оформлением решения. Проверяемая тема: делимость, прогрессии, олимпиадная арифметика. На тренировке лимитов нет — сначала точность, скорость придёт после 10–15 решённых задач. Планируйте экзамен так, чтобы не застревать: если решение не идёт — зафиксируйте промежуточный результат, переходите дальше и возвращайтесь в конце, потому что остальные задания дадут больше суммарных баллов.
Частые вопросы про задание 18
Можно ли решать задачу 18 полным перебором?
Да, если перебор организован и обоснован: от меньших чисел к большим, с проверкой всех условий и объяснением, где перебор заканчивается. Хаотичные попытки баллов не дают.
Какие формулы прогрессий реально нужны?
Две: a_n = a_1 + (n−1)d и S_n = (a₁ + a_n)·n/2. Для геометрической — b_n = b₁·q^(n−1). Остальное выводится на месте за минуту.
Пример никак не находится, что делать?
Разложи требуемое число на множители и собери пример из них. Большинство таких задач устроено так, что пример склеивается из разложения на простые множители.