Логарифмическая функция, её график и свойства

Звукорежиссёр смотрит на пульт: разговор — 60 децибел, метро — 80 децибел. Кажется, метро «на 20 громче», но на самом деле его мощность больше в сто раз: разница в 20 децибел означает умножение на 10². Логарифм спрятан в самом определении децибела — там стоит десятичный логарифм отношения мощностей. Громкость, яркость звёзд, кислотность растворов, время удвоения вклада — везде, где величины различаются в миллионы раз, шкалу сжимают логарифмом. Чтобы уверенно работать с такой шкалой, нужно знать её функцию: y = log_a x. Сразу оговорим записи: десятичный логарифм по основанию 10 обозначают lg, натуральный по основанию e — ln, а во всех остальных случаях основание пишут снизу.

Определение: логарифм как степень

Ещё один знакомый пример — кислотность. В химии pH измеряется как минус десятичный логарифм концентрации ионов водорода: у лимонного сока pH около 2, у нейтральной воды — 7, у мыльного раствора — около 10. Разница всего в несколько единиц шкалы, а по концентрации это различия в миллионы раз: каждый шаг по pH — умножение в десять раз. Именно так работает логарифмическая шкала: равным шагам на шкале отвечают равные кратности в жизни.

Логарифмическая функция определяется через показательную. Запись log_a x = b означает ровно одно: a^b = x, то есть b — это та степень, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить x. Спрашиваем «в какую степень возвести 2, чтобы вышло 32?» — ответ log_2 32 = 5. Из этого определения мгновенно следует область определения: возводя положительное основание в любую степень, невозможно получить нуль или отрицательное число. Поэтому у y = log_a x аргумент обязан быть строго положительным, а область значений — все действительные числа: степени бывают и дробные, и отрицательные.

Логарифмическая и показательная функции — взаимно обратные, как возведение в квадрат и извлечение корня. Следствие красивое: их графики зеркальны относительно прямой y = x. Кривая y = 2^x прижата к оси Ox слева и взмывает вверх справа; кривая y = log_2 x прижата к оси Oy внизу и растёт вправо всё медленнее. Проверка на числах: два в пятой — тридцать два, а логарифм тридцати двух по основанию два — пять; каждый переход возвращает нас обратно. Монотонности у пары совпадают: показательная растёт при a > 1 — и логарифмическая растёт при a > 1.

Десятичный логарифм#

Логарифм по основанию 10, обозначается lg: именно он стоит в определении децибела

Натуральный логарифм#

Логарифм по основанию e ≈ 2,718, обозначается ln: главный в математическом анализе

Основание#

Число a > 0, a ≠ 1: от него зависит монотонность и крутизна кривой

Вертикальная асимптота#

Прямая, к которой кривая прижимается, не пересекая: у логарифма это ось Oy

Монотонность: два случая

Всё поведение функции упирается в основание. При a > 1 функция возрастает: чем больше x, тем большую степень нужно выставить, чтобы добраться до него. При 0 < a < 1 показательная функция убывает, поэтому логарифмическая тоже убывает: чем больше аргумент, тем меньшая степень нужна. Например, log_3 27 = 3, а log_3 9 = 2: аргумент вырос — логарифм вырос; для убывающей кривой всё было бы наоборот. Опорная точка одна и та же для всех оснований: log_a 1 = 0, ведь любое положительное основание в нулевой степени даёт единицу. Через эту точку проходят все логарифмические кривые — по ней удобно начинать построение.

Из таблицы видно, как быстро определять знак: log_2 (1/8) = −3 — аргумент меньше единицы, основание больше, значение отрицательное. А вот log_{0,5} 8 = −3: здесь основание меньше единицы, и большой аргумент даёт отрицательный логарифм, ведь 0,5 нужно возвести в минус третью, чтобы вышло 8. Проверка через определение занимает одну строку и спасает от ошибок со знаками. Сравнивая кривые с разными основаниями, замечай закономерность: чем больше основание, тем положе график справа — чтобы подняться на единицу, большему основанию нужен больший аргумент.

Монотонность превращает логарифмические неравенства в простые шаги. Пример: log_2 x < 4. Основание больше единицы, логарифм возрастает, значит x < 2⁴ = 16; не забываем область определения: x > 0, итого 0 < x < 16. А вот с убывающей функцией знак переворачивается: log_{0,5} x < 2 означает x > 0,25 — аргумент должен быть больше, потому что кривая спускается. Правило короткое: растёт — знак сохраняется, убывает — переворачивается, а область определения выписываем всегда.

График: как он устроен и что умеет

Строить кривую удобно по степеням основания. Для y = log_2 x берём точки (1; 0), (2; 1), (4; 2), (8; 3), а для дробных аргументов значения отрицательные: (1/2; −1). Соединяем плавной линией. Две её особенности: слева она прижимается к оси Oy, которая работает вертикальной асимптотой — кривая уходит вниз бесконечно, но ось не пересекает; справа она растёт всё медленнее, чтобы подняться на единицу, аргумент приходится удваивать. Именно поэтому логарифмические шкалы и удобны: они сжимают огромные разбросы в компактную картинку.

С логарифмом удобно жить в степенях основания. log_5 25 = 2 и log_5 125 = 3 — ответы считываются с показателей. Полезное следствие: log_2 (2x) = log_2 x + 1 — удвоил аргумент, к логарифму прибавилась единица. Поэтому кривая и растёт так неспешно: чтобы значение выросло на три, аргумент должен вырасти в восемь раз. Для десятичного логарифма ещё нагляднее: lg 100 = 2, lg 100000 = 5 — пять порядков величины на крошечном отрезке шкалы.

Чтение графика отвечает на вопросы без вычислений. Сколько решений у уравнения log_2 x = 5? Проводим горизонтальную прямую на высоте 5 — одно пересечение, одно решение, и оно рядом с 32, ведь 2⁵ = 32. Что больше: log_3 5 или log_3 7? Основание больше единицы, функция возрастает, значит больше логарифм большего аргумента. Сравнения, которые в лоб требуют таблиц, монотонность решает взглядом.

График отвечает и на вопрос о числе корней. Решим log_2 x = 6 − x: левая часть возрастает, правая убывает, значит пересечение единственное; подбираем по степеням двойки — при x = 4 слева и справа по двойке, корень найден. Так рисунок заменяет длинную алгебру: наложи пару кривых, посмотри на точки пересечения — и ответ уже виден.

Логарифмическая функция — фундамент для следующего этапа: свойств логарифмов, которые превращают произведения в суммы, и логарифмических уравнений, где область определения проверяется в первую очередь. На экзамене график помогает прикинуть число корней, а монотонность — расставить знаки в неравенствах. Собери кривую по точкам в тренажёре, прогони квиз — и логарифм перестанет быть абстракцией: у него появится лицо на графике.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема