Логарифмическая функция, её график и свойства — тренажёр
Тренировка по теме «Логарифмическая функция, её график и свойства»: задачи с меняющимися числами, мгновенная проверка, подсказка и подробный разбор к каждой. Ниже — шпаргалка по теме, разобранные примеры и ответы на частые вопросы.
Тренировка
0/81 Известно, что log_3 x = 4 и log_3 y = 1. Найди log_3(xy).
Выбери ответ и нажми «Проверить». Подсказка рядом — пользоваться не стыдно.
Разбор примеров из тренажёра
9 задач из пула этого тренажёра с полной логикой решения: условие, подсказка, как решать и ответ. В самом тренажёре числа в каждой задаче обновляются от раунда к раунду — принцип решения остаётся тем же.
Пример 1. Известно, что log_3 x = 3 и log_3 y = 2. Найди log_3(xy).
Подсказка. Произведение внутри логарифма складывает логарифмы.
Как решать. Логарифм произведения равен сумме логарифмов: 3 + 2.
Ответ: 5
Пример 2. Логарифм log_2(x − 2) определён при положительном аргументе. Найди наименьшее целое значение x.
Подсказка. Аргумент логарифма строго больше нуля.
Как решать. Нужно x − 2 > 0, то есть x > 2. Наименьшее целое — 2 + 1.
Ответ: 3
Пример 3. Функция y = log_0,5 x: возрастает или убывает? Запиши одним словом.
Подсказка. Сравни основание с единицей.
Как решать. Основание 0,5 меньше единицы, поэтому логарифмическая функция убывает: чем больше аргумент, тем меньше значение.
Ответ: убывает
Пример 4. Известно, что log_3 x = 1 и log_3 y = 4. Найди log_3(xy).
Подсказка. Произведение внутри логарифма складывает логарифмы.
Как решать. Логарифм произведения равен сумме логарифмов: 1 + 4.
Ответ: 5
Пример 5. Логарифм log_2(x − 5) определён при положительном аргументе. Найди наименьшее целое значение x.
Подсказка. Аргумент логарифма строго больше нуля.
Как решать. Нужно x − 5 > 0, то есть x > 5. Наименьшее целое — 5 + 1.
Ответ: 6
Пример 6. Известно, что log_3 x = 2 и log_3 y = 4. Найди log_3(xy).
Подсказка. Произведение внутри логарифма складывает логарифмы.
Как решать. Логарифм произведения равен сумме логарифмов: 2 + 4.
Ответ: 6
Пример 7. Логарифм log_2(x − 4) определён при положительном аргументе. Найди наименьшее целое значение x.
Подсказка. Аргумент логарифма строго больше нуля.
Как решать. Нужно x − 4 > 0, то есть x > 4. Наименьшее целое — 4 + 1.
Ответ: 5
Пример 8. Известно, что log_3 x = 3 и log_3 y = 1. Найди log_3(xy).
Подсказка. Произведение внутри логарифма складывает логарифмы.
Как решать. Логарифм произведения равен сумме логарифмов: 3 + 1.
Ответ: 4
Пример 9. Логарифм log_2(x − 6) определён при положительном аргументе. Найди наименьшее целое значение x.
Подсказка. Аргумент логарифма строго больше нуля.
Как решать. Нужно x − 6 > 0, то есть x > 6. Наименьшее целое — 6 + 1.
Ответ: 7
Вопросы для повторения темы
Контрольные вопросы по «Логарифмическая функция, её график и свойства» с верными ответами и пояснениями — проверь себя до запуска тренажёра.
Вопрос 1. Вычисли log_2 32.
Ответ: 5
Пояснение. 2⁵ = 32, поэтому логарифм равен 5. Логарифм — это показатель степени.
Вопрос 2. Какая точка лежит на графике y = log_2 x?
Ответ: (8; 3)
Пояснение. log_2 8 = 3, значит точка (8; 3) принадлежит графику. В точке (2; 0) значение должно быть 1, а log_2 1 = 0.
Вопрос 3. Верно ли, что график y = log_a x существует только при положительных x?
Ответ: Верно
Пояснение. Да: показательная функция с положительным основанием не даёт нуля и отрицательных чисел, поэтому аргумент логарифма строго положителен.
Вопрос 4. Какие функции возрастают на всей области определения?
Ответ: y = log_5 x; y = log_2 x
Пояснение. Возрастают те, у кого основание больше единицы: 5 и 2. Основания 0,5 и 0,9 меньше единицы — эти функции убывают.
Вопрос 5. Расставь числа по возрастанию: log_2 8, log_2 3, log_2 0,5, log_2 1.
Ответ: log_2 0,5 → log_2 1 → log_2 3 → log_2 8
Пояснение. Значения: −1, 0, около 1,6 и 3. Функция возрастает, поэтому порядок чисел повторяет порядок аргументов: 0,5; 1; 3; 8.
Вопрос 6. Сопоставь объект и его описание.
Пояснение. Обе кривые проходят через (1; 0), различает их монотонность; асимптота и область определения общие.
Вопрос 7. Дополни.
Ответ: 1 → возрастает
Пояснение. Логарифм единицы равен нулю при любом основании; при основании больше единицы кривая идёт вверх.
Настройте ритм перед экзаменом: задание дня по алгебре — новое каждый день.