Основы специальной теории относительности

Навигатор в телефоне определяет твой дом с точностью до пары метров — но без поправок теории относительности он ошибался бы примерно на десять километров в сутки. Звучит абсурдно: какая связь между спутником над Землёй и формулами Эйнштейна? Самая прямая: на орбите часы тикают иначе, чем на земле, и если этого не учесть, координаты уплывают. Специальную теорию относительности, коротко СТО, Альберт Эйнштейн построил в 1905 году — она описывает движение с околосветовыми скоростями. Разберём её постулаты и три странных следствия: замедление времени, сокращение длины и знаменитую формулу энергии покоя.

Два постулата Эйнштейна

Первый постулат — принцип относительности: все физические законы одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта. ИСО — система, которая движется равномерно и прямолинейно или покоится: купе поезда на ровном ходу, корабль в штиль, школьная лаборатория. Внутри такой системы никакой опыт не отличит её от покоящейся: в поезде, летящем со скоростью 200 км/ч, монетка падает вниз точно так же, как на вокзале.

Второй постулат: скорость света в вакууме одинакова во всех ИСО и не зависит ни от скорости источника, ни от скорости приёмника. Она равна $c=3\cdot 10^8$ м/с, а точнее 299 792 458 м/с. На первый взгляд это противоречит здравому смыслу: если бежать навстречу лучу света, он должен казаться быстрее? Опыт Майкельсона и Морли 1887 года показал обратное: интерферометр сравнивал скорость света по двум взаимно перпендикулярным направлениям — вдоль движения Земли и поперёк — и никакого сдвига интерференционных полос не нашёл. Свет во всех направлениях идёт с одной скоростью. Эйнштейн сделал это постоянство аксиомой и перестроил всю механику.

Из второго постулата следует жёсткий предел: ничто не может обогнать свет. Даже если два луча летят навстречу друг другу, скорость их сближения для любого наблюдателя не превысит скорость света — складывать скорости по обычным правилам при околосветовых скоростях нельзя. Классическое правило сложения — лишь приближение для медленных тел, и в этом одна из главных перемен по сравнению с механикой Ньютона.

Относительность одновременности

Первое странное следствие: два события, одновременные для одного наблюдателя, могут быть неодновременными для другого. Эйнштейн объяснял это на примере поезда. Вагон проезжает платформу, и в его геометрический центр бьёт молния — вспышка расходится в обе стороны. Для человека на платформе свет достигает носа и хвоста вагона одновременно. Для пассажира — нет: нос вагона «убегает» от светового сигнала, а хвост «идёт навстречу», поэтому задняя вспышка приходит раньше. Оба наблюдателя правы: одновременность не абсолютна, она зависит от системы отсчёта.

Замедление времени

Величина $\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ называется гамма-фактором — она показывает, во сколько раз замедляется время. При бытовых скоростях гамма-фактор неотличим от единицы: даже у самолёта отставание — микросекунды за год. Но при скорости 0,9 c время растягивается в 2,3 раза, а при 0,99 c — в 7 раз. Движущиеся часы для внешнего наблюдателя всегда идут медленнее, и это не поломка механизма: само время в движущейся системе течёт иначе.

Живое доказательство — мюоны, частицы космических лучей. Они рождаются на высоте 10–15 километров, когда космические протоны разбивают молекулы атмосферы, и живут в среднем 2,2 микросекунды по собственным часам. Даже со скоростью 0,995 c такой срок хватает лишь на 660 метров пути — без теории относительности ни один мюон не долетал бы до земли. Однако мюоны исправно фиксируют приборы у поверхности. По часам лаборатории их время растянуто в десятки раз, и долетают именно «медленно живущие» по земной мерке экземпляры.

Сокращение длины

Второе следствие: движущееся тело сокращается вдоль направления движения — и только вдоль него. Космический корабль длиной 100 метров при скорости 0,87 c покажется земному наблюдателю пятидесятиметровым, но высота и ширина останутся прежними: шар не сплющится в тарелку, а вытянется в диск только по ходу движения. Для пилота всё наоборот — сократятся улицы города, мимо которого он пролетает. Никакого сжатия вещества нет: это свойство самих измерений, ведь одновременность в двух системах разная, а длина измеряется через одновременные отсчёты.

Релятивистская масса и энергия покоя

Масса тела тоже зависит от скорости: чем ближе скорость к скорости света, тем труднее разгонять тело, — при скорости, стремящейся к скорости света, масса растёт неограниченно. Поэтому массивное тело нельзя разогнать до скорости света: на это не хватило бы энергии всей Вселенной. Ускорители сталкиваются с этим ежедневно: протон в Большом адронном коллайдере разгоняют до 0,99999999 скорости света, и его масса в тысячи раз превышает массу покоя. А в старом телевизоре электрон в кинескопе разгонялся до трети скорости света — уже там обычная механика начинала привирать на несколько процентов.

Самая знаменитая формула физики связывает массу и энергию. Смысл: масса — это «замороженная» энергия, и тело массой в один грамм несёт энергию покоя $E=9\cdot 10^{13}$ джоулей, даже когда стоит на месте. Этой энергии хватило бы, чтобы лампочка в 100 ватт горела почти 29 тысяч лет. Реальные превращения массы в энергию идут в ядерных реакциях: Солнце каждую секунду превращает около 4 миллионов тонн вещества в излучение — и именно это излучение согревает Землю.

Границы применимости, близнецы и GPS

При скоростях, много меньших скорости света, гамма-фактор практически равен единице: замедление времени и сокращение длины исчезают, и формулы СТО переходят в обычную механику Ньютона. Это не «ошибка старой науки», а её частный случай: ньютоновская механика отлично работает для машин, самолётов и планет — релятивистские поправки там ничтожны. Граница применимости проходит там, где скорость становится заметной долей скорости света.

Замедление времени порождает знаменитый парадокс близнецов: брат-космонавт летит с околосветовой скоростью и стареет медленнее, а брат на Земле за это время постареет сильнее. Кажется, что можно рассуждать и наоборот — мол, с точки зрения космонавта летит Земля. Но нет: симметрию нарушает разворот. Тормозя и поворачивая назад, космонавт выходит из инерциальной системы, а земной брат всё время остаётся в своей. Неравномерно двигался именно космонавт — поэтому по возвращении он окажется моложе.

Парадокс давно проверен на практике: атомные часы на спутниках GPS идут иначе, чем на земле. Спутник летит на высоте около 20 тысяч километров со скоростью почти 4 километра в секунду. Из-за скорости его часы отстают примерно на 7 микросекунд в сутки — это эффект СТО. А из-за более слабой гравитации на орбите — уходят вперёд на 45 микросекунд, и это уже общая теория относительности. Итог: плюс 38 микросекунд в сутки, и навигаторы обязаны вносить поправку, иначе ошибка позиционирования накапливалась бы до 10 километров в день.

С тех пор как за теорию относительности взялись математики, я сам её больше не понимаю.

Альберт Эйнштейн

ИСО#

инерциальная система отсчёта: покоится или движется равномерно и прямолинейно

Гамма-фактор#

величина, показывающая, во сколько раз замедляется время при данной скорости

Собственное время#

время по часам, движущимся вместе с телом

Масса покоя#

масса тела в системе отсчёта, где оно покоится

Энергия покоя#

энергия тела, равная произведению массы на квадрат скорости света

Специальная теория относительности — не абстракция для олимпиад: без её поправок не работают навигаторы, а ускорители частиц ежегодно подтверждают формулы Эйнштейна с точностью до миллионных. Проверь себя квизом и прикинь гамма-фактор в интерактиве — а дальше по программе идёт общая теория относительности, где к скорости добавляется гравитация.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема