Гайд2026-09-01

Как строить графики функций: от прямой до параболы

График функции — это таблица значений, развёрнутая в картинку: точки и плавная линия между ними. Разбираем прямую, параболу, гиперболу и модуль, сдвиги графиков и вопросы ОГЭ: где нули, где возрастает, где наименьшее значение.

В домашке за два дня до контрольной: постройте график функции $y = x^{2} - 4 x + 3$ и перечислите его свойства. Рука тянется поставить две точки и провести линию — и парабола выходит кривой, а половина вопросов остаётся без ответа. Графики пугают не сложностью, а порядком действий: стоит один раз прогнать алгоритм «таблица — точки — линия» на каждой базовой функции, и задание превращается в аккуратную рутину. Здесь — все линии школьного курса от прямой до параболы, сдвиги, которые экономят половину таблицы, и ловушки, на которых теряют баллы в ОГЭ.

График — это таблица значений, развёрнутая в картинку

Любая функция строится одинаково: берёшь несколько значений x, для каждого считаешь y, ставишь точки и соединяешь. Таблица значений — не формальность ради учителя, а способ убедиться, что точки стоят на своих местах. Для прямой $y = 2 x - 3$ она короткая:

x	−2	−1	0	1	2
y = 2x − 3	−7	−5	−3	−1	1

Пять точек для прямой даже избыточно: хватает двух, а третья — контрольная, она покажет, не съехала ли линия. Дальше — плавная линия: по линейке для прямой и от руки для кривых, потому что параболу и гиперболу чертят мягким движением через точки, а не ломаными отрезками. Если точка не легла на линию, перепроверь арифметику в таблице — чаще всего виновата она, а не «плохой график».

Линейная функция y = kx + b: наклон и сдвиг

Линейная функция — самая частая линия в заданиях с седьмого по девятый класс. Число k задаёт наклон: чем больше k, тем круче прямая; при k > 0 она растёт слева направо, при k < 0 — падает. Число b — точка, где прямая пересекает ось y: график просто поднят или опущен на b. Главный приём темы следует отсюда: прямую определяют два числа, и по ним её рисуют без таблицы.

y = k x + b

k — наклон прямой, b — сдвиг по оси y. При k = 0 прямая горизонтальна: это просто y = b.

Случай	Что за линия	Пример
k = 0	Горизонтальная прямая: y одинаков при любом x	$y = 0 \cdot x + 4$ , то есть $y = 4$
b = 0	Прямая через начало координат	$y = 2 x$ проходит через точки (0; 0) и (1; 2)
k > 0	Прямая возрастает, идёт снизу вверх	$y = 2 x - 3$
k < 0	Прямая убывает, идёт сверху вниз	$y = - x + 1$

Строить прямую по двум точкам проще всего: берёшь два удобных x, обычно 0 и 1, считаешь y, отмечаешь точки и прикладываешь линейку. Для $y = 2 x - 3$ это (0; −3) и (2; 1): в нуле график стартует с −3 и поднимается на две клетки за каждый шаг вправо. Если же в задаче даны точки, а формулу прямой нужно найти, справится калькулятор /calc/uravnenie-pryamoy/.

Парабола: вершина по формуле, ветви по знаку a

Парабола — график квадратичной функции $y = a x^{2} + b x + c$ — валится не на точках, а на порядке: сначала вершина и направление ветвей, потом остальное. Направление задаёт старший коэффициент a: при a > 0 ветви вверх, при a < 0 — вниз. Вершина считается по коэффициентам:

x_{0} = - \frac{b}{2 a}, y_{0} = f (x_{0})

Абсцисса вершины по коэффициентам, ордината — значение функции в этой точке. Для параболы это самая нижняя или самая верхняя точка.

Алгоритм построения параболы

Определи знак a и направление ветвей: вверх при a > 0, вниз при a < 0.
Найди вершину и отметь её:
$x_{0} = - \frac{b}{2 a}, y_{0} = f (x_{0})$
Найди нули — решения уравнения $a x^{2} + b x + c = 0$ через дискриминант: они покажут, где график пересекает ось x.
Возьми две-три точки по бокам от вершины и посчитай для них y.
Используй симметрию: точки на равном расстоянии от вершины дают одинаковый y. Соедини всё плавной линией.

На примере из домашки: $y = x^{2} - 4 x + 3$ . Здесь a = 1 — ветви вверх; вершина $x_{0} = 4/2 = 2$ , $y_{0} = 4 - 8 + 3 = - 1$ , то есть точка (2; −1). Нули: $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ даёт x = 1 и x = 3. Проверь картинку в голове: парабола пересекает ось x в единице и тройке, а вершина сидит ровно между ними на глубине −1. Корни и дискриминант удобно сверять в калькуляторе /calc/kvadratnoe-uravnenie/.

Гипербола, корень и модуль

Гипербола $y = k / x$ — обратная пропорциональность. Её не построишь «по двум точкам и линейке»: график состоит из двух отдельных ветвей, которые никогда не дотягиваются до осей — лишь приближаются к ним. Эти линии-призраки называются асимптотами: у $y = k / x$ это сами оси, вертикальная x = 0 и горизонтальная y = 0. Знак k решает, где живут ветви:

y = \frac{k}{x}, k \neq = 0

При k > 0 ветви в первой и третьей четвертях, при k < 0 — во второй и четвёртой. Оси координат — асимптоты.

Для $y = 4/ x$ бери точки по обе стороны от нуля: (1; 4), (2; 2), (4; 1) дают убывающую ветвь в первой четверти, а симметричные (−1; −4), (−2; −2), (−4; −1) — ветвь в третьей. Чем ближе к нулю, тем резче график уходит вверх: ветвь должна прижиматься к осям, но не касаться их.

График $y = x$ стартует из нуля и ползёт вправо: точки (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3) — линия поднимается всё положе, и это одна-единственная ветвь над осью. Модуль $y = ∣ x ∣$ — «галочка»: для отрицательных x значение то же, что для положительных, поэтому левая половина графика — зеркало правой. Симметрия относительно оси y — главный инструмент построения графиков с модулем.

Сдвиги: из одной функции — десять графиков

Таблицу значений для каждого нового графика составлять не нужно: большинство графиков — это старые, сдвинутые по осям. Правило контринтуитивно в горизонтальном направлении, поэтому его чаще всего путают:

Что добавили	Что происходит	Пример для $y = x^2$
+ b к функции: $f (x) + b$	Сдвиг по оси y: вверх при b > 0, вниз при b < 0	$y = x^{2} + 2$ — вершина в (0; 2)
− a внутри: $f (x - a)$	Сдвиг по оси x: вправо при a > 0, влево при a < 0	$y = (x - 3)^{2}$ — вершина в (3; 0)
минус перед функцией: $- f (x)$	Отражение относительно оси x: ветви переворачиваются	$y = - x^{2}$ — ветви вниз
минус при x: $f (- x)$	Отражение относительно оси y	$y = - x$ — график корня в левой полуплоскости

Запомнить помогает житейский пример: проснулся на час позже, x − 1, — и весь день уехал на час вправо. Поэтому $f (x - a)$ сдвигает график вправо, а не влево, как подсказывает интуиция. На контрольной это экономит минуты: увидел $(x + 2)^{2}$ — нарисовал в уме параболу, сдвинутую на две клетки влево, а таблица значений нужна только для контроля.

Чтение графика: вопросы, которые задают на ОГЭ

Построить график — половина дела; вторая половина — вопросы по нему, и на этом теряют больше баллов, чем на кривых линиях. По готовому чертежу просят:

нули функции — точки пересечения графика с осью x;
промежутки возрастания и убывания — где линия ползёт вверх, а где вниз;
наибольшее и наименьшее значение — крайние точки по оси y;
промежутки знакопостоянства — где график целиком выше или ниже оси x.

Как отвечать на вопросы по графику

Веди взглядом по линии слева направо и фиксируй, где она поднимается, а где опускается, — это промежутки возрастания и убывания.
Отмечай пересечения с осью x: это нули. Касание оси тоже нуль функции, хоть и выглядит как одна точка.
Смотри на вершину: крайнее значение параболы — её наибольшее или наименьшее значение, достигается оно в вершине.
Отвечай ровно по вопросу: просят промежутки — пиши интервалы по оси x, просят значения — числа по оси y. Подмена x на y — самая дорогая ошибка задания.

Для параболы $y = x^{2} - 4 x + 3$ ответы читаются с чертежа: нули 1 и 3, до вершины функция убывает, после — возрастает, наименьшее значение −1 в точке x = 2, график выше оси при x < 1 и x > 3.

Нуль функции#: Значение x, при котором y = 0; на графике — точка пересечения с осью x
Вершина параболы#: Самая нижняя или верхняя точка графика; в ней меняется направление
Асимптота#: Прямая, к которой график приближается бесконечно близко, но не пересекает её
Возрастание#: Промежуток, где при движении слева направо график поднимается
Знакопостоянство#: Промежуток, где график целиком выше или ниже оси x

Первый шаг — прямо сегодня: построй по алгоритму параболу из домашки и ответь на пять вопросов по ней — нули, вершина, промежутки, наименьшее значение, знакопостоянство. Теорию по каждой линии повторяй там, где она разобрана по классам: линейная функция и её график — урок /algebra/7-klass/linejnaya-funkciya/, квадратичная функция и парабола — /algebra/9-klass/kvadratichnaya-funkciya/. Как то же построение выглядит в физике, где по осям время и путь, покажет урок /fizika/7-klass/mehanicheskoe-dvizhenie/, а графики движения из ЕГЭ по физике разобраны на странице /ege/fizika/zadanie-6-fizika-grafiki-dvizheniya/. Задание на построение графика функции в ОГЭ по математике — разбор /oge/matematika/zadanie-22-oge-m22-grafik-funkcii/: сверь свой алгоритм с критериями. И если после графиков ты идёшь в текстовые задачи, возьми методику из гайда /guides/kak-reshat-zadachi-na-dvizhenie/ — там те же «таблица, точки, проверка», только вместо клеток километры.

Мини-квиз на отдыхе

Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»

Какой режим подготовки эффективнее?

Частые вопросы

Как построить график функции, если в таблице получились огромные числа?

Смени масштаб: одна клетка может означать и 1, и 10, и 100. Подпиши деления на осях и держи один масштаб по всей оси — форма графика не изменится, а точки поместятся.

Как по графику определить, где функция возрастает?

Веди взгляд слева направо: где линия поднимается вверх — промежуток возрастания, где опускается — убывания. Для параболы границей служит вершина, для прямой ответ один на всю линию.

Сколько точек нужно, чтобы построить параболу?

Минимум пять: вершина, нули или точки по бокам и одна контрольная. Двух точек не хватает, потому что парабола, в отличие от прямой, гнётся, и её форму без вершины не поймать.

Почему гипербола приближается к осям, но не пересекает их?

При x = 0 деление на нуль невозможно, поэтому вертикальная асимптота запрещена. А равенство y = 0 не выполняется ни при каком x: дробь k/x равна нулю только при нулевом числителе, а он не нулевой.

Чем отличается y = f(x) + 3 от y = f(x + 3)?

Первая формула поднимает график на 3 клетки вверх, вторая сдвигает его на 3 клетки влево. Плюс внутри скобки работает наоборот: f(x − a) сдвигает график вправо.