Гайд2026-09-01

Шпаргалка по математике за 5 и 6 класс: дроби, проценты, действия

Вся арифметика 5-6 класса в семи таблицах: порядок действий, обыкновенные и десятичные дроби, три типа задач на проценты, пропорция с масштабом, модуль, НОД и НОК, признаки делимости. К каждой таблице — ловушки, на которых чаще всего теряют баллы.

ВПР по математике через неделю, а на столе конспекты двух учебных лет: дроби пятого класса, отрицательные числа шестого, проценты, пропорции. Собирать заново не нужно — вся арифметика за два года укладывается в десяток таблиц. Ниже они и собраны: порядок действий, обыкновенные и десятичные дроби, три типа задач на проценты, пропорция с масштабом, модуль, НОД с НОК и признаки делимости. Читай сверху вниз и отмечай таблицы, где хотя бы один пример не сходится в голове, — это твой список на вечер. Шесть ловушек в конце — то, что чаще всего съедает баллы даже у сильных.

Натуральные числа и порядок действий

Порядок действий — первая тема, которую спрашивают в каждом варианте. Скобки, затем степени, затем умножение с делением слева направо, и только потом сложение с вычитанием слева направо. Равноправие — ключевое слово: 12 : 3 · 2 равно 8, а не 2, и 10 − 4 + 3 равно 9, а не 3. Разбор с примерами — в уроке /matematika/5-klass/poryadok-dejstvij/.

Шаг	Что делаем	Пример
1	Скобки	(3 + 5) · 2 = 16
2	Степени	2³ = 8
3	Умножение и деление слева направо	12 : 3 · 2 = 8
4	Сложение и вычитание слева направо	10 − 4 + 3 = 9

Обыкновенные дроби: таблица правил

Числитель — сколько частей взяли, знаменатель — на сколько разрезано целое. Смешанное число — целая часть плюс дробная; неправильную дробь, где числитель больше знаменателя, переводят в смешанную выделением целого. Все четыре действия — в таблице, а хитрое место одно: сложение с разными знаменателями.

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

Умножение: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель, потом сократи.

\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}

Деление: заменяем умножением на перевёрнутую дробь. Делимое не трогаем.

Действие	Правило	Пример
Сложение, вычитание с равными знаменателями	Складывай числители, знаменатель оставляй	2/7 + 3/7 = 5/7
Сложение, вычитание с разными знаменателями	Общий знаменатель через НОК, потом считай числители	1/4 + 1/6 = 3/12 + 2/12 = 5/12
Умножение	Числитель на числитель, знаменатель на знаменатель	2/3 · 3/5 = 6/15 = 2/5
Деление	Умножь на перевёрнутую дробь	3/4 : 2/5 = 3/4 · 5/2 = 15/8

Сложение дробей с разными знаменателями: 1/4 + 1/6

Найди наименьшее общее кратное знаменателей: для 4 и 6 это 12.
$\frac{1}{4} + \frac{1}{6}$
Дополни первую дробь до нового знаменателя: 12 : 4 = 3, умножаем числитель и знаменатель на 3.
$\frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}$
То же со второй: 12 : 6 = 2.
$\frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{2}{12}$
Складывай числители — знаменатель общий, и сократи, если можно. Здесь 5/12 несократимая.
$\frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$

Смешанные числа складывают по частям: целые с целыми, дробные с дробными, при переполнении дробной части выделяют ещё целое. Взаимно обратные дроби — те, чьё произведение равно 1, например 3/4 и 4/3; они нужны для деления. Сокращение и основное свойство дроби разобраны в уроке /matematika/6-klass/osnovnoe-svojstvo-drobi/.

Десятичные дроби: запятая под запятой

Десятичная дробь — та же обыкновенная со знаменателем 10, 100, 1000, только записанная через запятую. Сравнивают по разрядам: 2,47 больше 2,4, потому что в разряде сотых стоит 7 против нуля. Правила действий короткие, и все они про запятую.

Действие	Правило	Пример
Сложение и вычитание	Запятая под запятой, разряд под разрядом	2,4 + 1,35 = 3,75
Умножение	Умножай как натуральные, отдели столько знаков, сколько было у обеих дробей вместе	0,2 · 0,03 = 0,006
Умножение на 10 и 100	Запятая уезжает вправо на столько разрядов	3,75 · 10 = 37,5
Деление на 10 и 100	Запятая уезжает влево	12,4 : 100 = 0,124
Деление на десятичную дробь	Перенеси запятую в обоих числах, чтобы делитель стал натуральным	4,8 : 0,06 = 480 : 6 = 80

Проценты: три типа задач

Один процент — сотая часть числа, и вся тема сводится к делению на сто. В пятом классе это базовые задачи — их разбор живёт в уроке /matematika/5-klass/procenty-5/, а в шестом добавляются сложные случаи через пропорцию. Три типа — в таблице.

a \cdot \frac{p}{100}

p процентов от числа a: умножить на p и разделить на сто. 15% от 200 — это 30.

Тип задачи	Как решать	Пример
Найти процент от числа	Умножь число на p/100	20% от 150: 150 · 0,2 = 30
Найти число по его проценту	Раздели известную часть на p/100	30 — это 20% числа: 30 : 0,2 = 150
Сколько процентов составляет часть	Раздели часть на целое и умножь на 100	12 от 48: 12 : 48 · 100 = 25%

Скидки и повышения работают не так, как кажется. Скидка 20%, а потом ещё 10% — это не минус 30%: вторая скидка считается от уже уменьшенной цены, и 100 превращается в 80, потом в 72 — суммарно 28%. Каждое изменение умножается отдельно.

Пропорция и масштаб

Пропорция — равенство двух отношений. Её главное свойство позволяет находить неизвестный член, а заодно решать половину задач на проценты и масштабы: пропорциональные величины связываются крест-накрест.

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow a \cdot d = b \cdot c

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.

Масштаб 1:1000 читается так: один сантиметр на карте — это 1000 сантиметров на местности, то есть 10 метров. Измерь отрезок по карте, умножь на знаменатель масштаба и переведи в удобные единицы: 4,5 см при масштабе 1:1000 — это 45 метров. Все переводы туда и обратно считает калькулятор /calc/masshtab/, а пропорции по шагам разобраны в уроке /matematika/6-klass/proporcii/.

Модуль и координатная прямая

Координатная прямая — это линейка с точкой 0: положительные числа вправо, отрицательные влево. Сравнение простое: правее — больше, поэтому −2 больше −5, хотя «два» меньше «пяти». Модуль — расстояние от числа до нуля, и расстояние не бывает отрицательным. Правила темы — в уроке /matematika/6-klass/modul-chisla/.

Правило	Запись	Пример
Модуль неотрицательного числа	\|a\| = a	\|7\| = 7
Модуль отрицательного числа	\|−a\| = a	\|−7\| = 7
Сравнение отрицательных	Правее на прямой — больше	−2 > −5
Умножение и деление с минусами	Минусов нечётное число — ответ минус	(−3) · (−4) = 12, (−6) : 2 = −3
Сложение разных знаков	Вычти меньший модуль из большего, поставь знак большего	−9 + 4 = −5

НОД и НОК: не путать

Пара, которую путают чаще всего. Оба ищутся разложением на простые множители, но применяются в разные стороны: один — чтобы сократить дробь, другой — чтобы привести к общему знаменателю. Разбор с алгоритмом — в уроке /matematika/6-klass/nod-i-nok/, а потренировать можно на тренажёре /matematika/6-klass/nod-i-nok/trenazher/.

	НОД	НОК
Расшифровка	Наибольший общий делитель — самое большое число, на которое делятся оба	Наименьшее общее кратное — самое маленькое число, которое делится на оба
Как найти	Общие множители разложений взять один раз	Все множители, повторяющиеся взять с наибольшей степенью
Где применять	Сокращение дробей	Общий знаменатель, задачи «автобусы уходят раз в N минут»
Пример: 12 и 18	НОД = 6	НОК = 36

Признаки делимости: таблица до 11

Признаки экономят минуты: вместо деления столбиком — один взгляд на число. Полная тема с доказательствами — в уроке /matematika/6-klass/deliteli-i-kratnye/.

Делится на	Признак	Пример
2	Оканчивается чётной цифрой	358
3	Сумма цифр делится на 3	471: 4 + 7 + 1 = 12
4	Две последние цифры образуют число, делящееся на 4	1316: 16 = 4 · 4
5	Оканчивается на 0 или 5	940
6	Делится и на 2, и на 3	438
8	Три последние цифры делятся на 8	2112: 112 = 8 · 14
9	Сумма цифр делится на 9	6363: 6 + 3 + 6 + 3 = 18
10	Оканчивается на 0	1500
11	Разность сумм цифр на чётных и нечётных местах равна 0 или делится на 11	2728: (2 + 2) − (7 + 8) = −11

Шесть ловушек контрольной

Финальный список — то, что проверяют заданиями «на внимательность» в каждом варианте.

Сокращение суммы вместо множителя: (3 + 6)/3 — это 3, а не «сократили тройку».
Сложение крест-накрест у пропорции — запрещено, только умножение диагоналей.
Скидки 20% и 10% — не 30% суммарно: вторая считается от уже уменьшенной цены.
НОД вместо НОК при общем знаменателе — знаменатель выходит меньше нужного, сложение ломается.
0,5 · 0,5 = 0,25: в умножении десятичных дробей знаков после запятой должно стать два, а не один.
Деление на дробь: переворачивается только делитель, делимое остаётся как было.

Как прогнать шпаргалку на практике: дроби с проверкой каждого шага считает /calc/drobi/, сравнение двух дробей по шагам — /calc/sravnenie-drobej/, НОД и НОК с разложением — /calc/nok-nod/, все режимы процентов — /calc/procenty/. Задачи на проценты по трём типам с разбором формулировок собрали в гайде /guides/kak-reshat-zadachi-na-procenty/ — открой его после таблицы процентов выше, там задачи посложнее.

Мини-квиз на отдыхе

Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»

Какой режим подготовки эффективнее?

Частые вопросы

Как повторить математику за 5 и 6 класс за один вечер?

Иди по таблицам этой шпаргалки сверху вниз и отмечай строки, где пример не сходится в голове, — это список твоих пробелов. По каждой слабой теме открой урок и тренажёр, пяти-шести задач хватит. Таблицы, которые читаются свободно, больше не трогай.

Почему при сложении дробей нельзя сложить знаменатели?

Знаменатель показывает, на сколько частей разрезано целое, — это размер доли, а размеры не складывают. Складывают количество долей, то есть числители, при общем знаменателе. Поэтому 1/4 + 1/6 — это не 2/10, а 5/12.

Чем НОД отличается от НОК в задачах?

НОД — самое большое число, на которое делятся оба данных: он нужен для сокращения дробей. НОК — самое маленькое, которое делится на оба: он нужен для общего знаменателя и задач вида «два маршрута уходят раз в N минут».

Как найти число, если известны его проценты?

Найди сначала один процент: раздели известную часть на количество процентов. Потом умножь на сто. Например, если 30 — это 20% числа, то один процент равен 1,5, а всё число — 150.

Что означает масштаб 1:1000 и как им пользоваться?

Один сантиметр на карте — это 1000 сантиметров на местности, то есть 10 метров. Измерь отрезок по карте, умножь на знаменатель и переведи в удобные единицы: 4,5 см при таком масштабе — это 45 метров.