Среднее арифметическое

Мама спрашивает, какая оценка за четверть. В дневнике контрольные: 5, 4, 5 и 3 — одним числом дневник не отвечает. Выручает среднее арифметическое: сложим отметки и разделим на их количество, (5 + 4 + 5 + 3) : 4 = 4,25. Округлим — четыре. Одно число описало целую кучу. Так же считают среднюю температуру месяца, средний балл команды и среднюю скорость поезда — везде, где много значений нужно сжать в одно.

Что такое среднее арифметическое

Среднее арифметическое набора чисел — это их сумма, делённая на количество. Слово «арифметическое» здесь не украшение: используются только сложение и деление. Складываем все числа набора, считаем, сколько их, и делим первое на второе. Для чисел 8, 9 и 13 сумма 30, количество 3, среднее 10. Заметь: среднее — это не «самое частое» и не «середина списка», хотя часто совпадает и с тем и с другим. Есть и обратное свойство: если знаешь среднее и количество, сумму можно найти без сложения — просто умножением. Этот приём ещё не раз выручит в словесных задачах тренажёра.

Термометр за день показывал 12, 15, 14 и 11 градусов. Средняя температура дня: (12 + 15 + 14 + 11) : 4 = 52 : 4 = 13. Тринадцати на табло могло и не быть, но среднее честно описало день одним числом. Так же складывают выручку за неделю и делят на семь дней, складывают пульс за несколько замеров и делят на их число. Везде одна операция: сумма делить на количество.

У среднего есть рамки: оно всегда не меньше наименьшего числа набора и не больше наибольшего. Среднее 8 и 12 — это 10, ровно посередине. Среднее 3 и 100 — 51,5: между ними, хотя по привычке хочется ближе к половине от ста. Если твоё «среднее» вышло за рамки — где-то ошибка: либо сложил не все числа, либо разделил не на то количество. Рамки ловят такие промахи мгновенно.

Что делать, когда числа сильно разбросаны? Иногда честнее назвать самое частое значение или середину упорядоченного списка — такие характеристики придумали именно из-за коварства среднего. Но и среднее не сдаёт позиций: оно просто считается, легко проверяется и хорошо описывает наборы, где числа живут кучно. Пятый класс тренирует именно его, а знание ловушки уже защищает от наивного доверия к любой средней цифре.

Средняя скорость: весь путь и всё время

Средняя скорость — это весь путь, разделённый на всё время движения. Обрати внимание: не среднее скоростей! Автобус ехал 2 часа со скоростью 60 км/ч, потом 3 часа со скоростью 50 км/ч. «Среднее скоростей» дало бы 55, но правильно считать так: путь 120 + 150 = 270 км, время 2 + 3 = 5 ч, средняя скорость 270 : 5 = 54 км/ч. Разница небольшая, но принципиальная. Запомни: средняя скорость всегда ближе к скорости того участка, который занял больше времени.

Классическая ловушка — дорога туда и обратно. Туда Миша проехал 60 км со скоростью 60 км/ч, потратив час. Обратно те же 60 км — со скоростью 20 км/ч, потратив три часа. «Среднее скоростей» дало бы 40, но весь путь — 120 км, всё время — 4 часа, значит, средняя скорость 30 км/ч. Медленный участок отнял больше времени и утянул среднее вниз. Считай через путь и время — не ошибёшься.

• Среднее арифметическое = сумма чисел : их количество
• Среднее всегда между наименьшим и наибольшим из чисел
• Проверка: среднее · количество = сумма
• Средняя скорость = весь путь : всё время
• Среднее — не всегда типичное: смотри на разброс чисел

Среднее в жизни

В сводках и отчётах средние мелькают постоянно: средняя температура недели, средний балл класса, средняя цена поездки, средний рост баскетболистов. Рост игроков команды: 180, 190, 185, 175 и 170 см — сумма 900, средний рост 180. Одно число заменило пять. Умение быстро прикинуть среднее помогает проверять объявления: если «средняя зарплата» сильно выше того, что платят всем знакомым, значит, разброс огромен — ищи, кто её тянет вверх.

Среднее связано с делением с остатком напрямую. Оценки дали сумму 17, а делим на 4: 17 : 4 = 4 (ост. 1). Остаток не выбрасываем — делим дальше, и рождается запись 4,25. Так из деления с остатком вырастает дробная запись. Запомни мостик: среднее — это неполное частное плюс дробная часть, вычисленная из остатка. Поэтому темы в учебнике идут соседями и решаются похожими приёмами. И среднее, как остаток, подсказывает, как поступить с «лишним»: без него — отбросить, с ним — продолжить деление дальше.

Где среднее подводит чаще всего? В маленьких наборах с одним выбросом: если в команде один гигант ростом 210 см и четверо по 170, средний рост 182 говорит о гиганте и невысоких игроках одинаково неточно. Поэтому перед подсчётом посмотри на числа глазами: нет ли чужака. Есть — посчитай среднее с ним и без него и сравни. Разница огромна? Значит, характеристика ненадёжна, так и скажи в ответе. Посчитать среднее дважды — не лень, а внимательное отношение к числам.

Средняя скорость тоже требует проверки глазами. Если скорость на всех участках похожа, средняя будет близка к ним. Если один участок резко медленный, он утягивает среднюю вниз сильнее, чем кажется: время на нём большое, а путь маленький. В задачах про походы, поезда и эскалаторы выписывай отдельно путь и время каждого участка — маленькой таблицей на черновике. Таблица не даёт потерять ни километр, ни минуту.

Проверь себя на близком примере: папе 34 года, маме 31, детям 8 и 5. Средний возраст семьи: (34 + 31 + 8 + 5) : 4 = 78 : 4 = 19,5 года — числа, которого нет ни у кого. Тем не менее оно полезно: через год каждый повзрослеет на один год, и среднее вырастет ровно на один. Среднее послушно едет за набором — в этом его сила и его слабость.

Проверь себя перед тренажёром

Прогони весь алгоритм: посчитай, сколько чисел в наборе, сложи их, раздели сумму на количество, проверь рамками и обратным умножением. Для скорости — сначала путь каждого участка, потом время каждого участка, и только потом деление. И помни про ловушку: среднее может не совпасть ни с одним числом набора, и это не ошибка, а свойство. Тренажёр выдаст свежие задачи — решай с проверками, и алгоритм дойдёт до автоматизма.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема