Задачи на изменение величин

Утром термометр показывал −7°, к обеду столбик подполз вверх на 10 делений. Какая температура на улице и как это записать кратко? Стало −7 + 10 = 3°, а само изменение равно +10°. К вечеру похолодало на 5° — стало −2°, изменение −5°. Таких записей полно в сводке погоды, в выписке из банка, в табло матча: любое изменение величины — это число со знаком, и знак несёт половину информации. Эта тема — первый настоящий выход отрицательных чисел с координатной прямой в жизнь.

Правило звучит так. Если величина увеличилась, изменение записывают положительным числом; если уменьшилась — отрицательным. Само изменение находят вычитанием начального значения из конечного. Из +3° после −7° изменение равно 3 − (−7) = 10 — потепление на десять градусов. Из −2° после +3° изменение равно −2 − 3 = −5 — похолодание на пять. Обрати внимание на второй пример: минус в ответе появился не потому, что температура отрицательная, а потому, что она упала.

Шкалы с нулём в середине

Чтобы складывать и вычитать такие числа, полезно видеть ноль на шкале. За ноль берут то, что договорились считать началом отсчёта. У температуры это таяние льда, у высот — уровень моря, у счёта матча — старт с нуля, у кошелька — момент, когда долгов нет. Всё выше, теплее, богаче нуля — плюс; всё ниже, холоднее, долговее — минус. Одна и та же шкала описывает и жару, и мороз, и делает их сравнимыми.

Выбор нуля — это договорённость, и от неё зависит вся запись. Градусник со шкалой по Цельсию даёт 0° на таянии льда; в той же комнате термометр с другой шкалой покажет другое число. Поэтому в задачах всегда читай, что принято за ноль и за единицу: иначе легко записать минус там, где нужен плюс. Это правило работает и в старших классах: физики каждый раз проговаривают начало отсчёта, прежде чем считать путь или энергию.

Читай таблицу справа налево и наоборот: каждая строка — одна и та же история с разными словами. Вершина Эвереста выше моря почти на 9 километров, а глубочайшая впадина уходит вниз примерно на 11 километров. Разница между ними — около 20 километров, и считается она обычным вычитанием: 8848 − (−11000). Минус перед скобкой раскрывается, минус на минус даёт плюс — знаки работают, как ты уже привык.

Координатная прямая делает такие вычисления наглядными. Начальное значение — точка на прямой. Изменение — прыжок: вправо, если число положительное, влево, если отрицательное. Конечное значение — где приземлился. Спрашивают обычно об одном из трёх: где оказались, какой был прыжок или откуда стартовали. Все три задачи решаются одной и той же связкой: конечное равно начальному плюс изменение.

Сравнение тоже удобнее видеть на прямой: какое число правее, то и больше. Разница между двумя значениями — это расстояние между ними, и она не зависит от порядка вычитания по модулю. Между −9° и −1° — восемь градусов, между −4° и 6° — десять. При этом само изменение со знаком зависит от направления: потепление из −9 в −1 запишется как +8, а похолодание из −1 в −9 — как −8. Одно число отвечает «на сколько», второе — ещё и «в какую сторону».

Время — ещё одна шкала с нулём посередине. Историки считают годы до нашей эры отрицательными: 500 год до н. э. — это −500, а расстояние между 500 годом до н. э. и 200 годом н. э. равно 700 годам, потому что между ними нет нулевого года — точнее, он не нумеруется. Тот же приём встречается в расписании: рейсы «до полуночи» и «после» удобно считать от полночи со знаками. Каждый раз вопрос один: где ноль, что считаем плюсом и что минусом.

Теперь про доходы и расходы. На счету было 320 р., ты потратил 250 — осталось 70. Запись через изменения: +320 — начальное, −250 — расход, итог 70. Если бы трат было больше денег, счёт ушёл бы в минус, и это честно описывало бы долг. Банки и игровые приложения считают ровно так: каждое движение денег — число со знаком, а баланс — сумма всех изменений с начальным значением. Тот же механизм у подсчёта голосов «за» и «против»: каждый голос — изменение со своим знаком, а итог голосования — их сумма.

Отдельная история — «изменение изменения». Температура менялась два раза: сначала на −6°, потом на +9°. Итоговое изменение — сумма: 9 − 6 = +3°. Понятно, что два падения подряд складываются в двойное падение: (−6) + (−4) = −10. Это правило «изменения складываются» экономит время, когда событий много, и лежит в основе таблиц тренировок, графиков веса и даже среднесуточных температур в календаре погоды.

Метеорологи именно так и работают: измерения снимают каждые три часа — ночью, утром, днём и вечером — и складывают со знаками отклонения от нормы. Если норма для дня 12°, а термометр показал 9°, отклонение −3°; если назавтра показал 15°, отклонение +3°, и за два дня погода в сумме не отступила от нормы. Такая запись со знаками короче любых слов: видно и куда уходила погода, и на сколько в итоге.

Как решать такие задачи

1. определи начальное значение — точку старта
2. переведи каждое событие в число со знаком: рост — плюс, падение — минус
3. сложи изменения или примени связку «конечное = начальное + изменение»
4. проверь ответ по смыслу: мороз не может стать жарой от одного шага

Значение величины#

точка на шкале: температура, высота, счёт

Изменение#

прыжок со знаком от начального значения к конечному

Начальное значение#

то, от чего стартовали

Конечное значение#

то, где оказались после всех изменений

Мини-пример на все четыре термина. Начальное значение — 12 очков, изменение — −9 очков, конечное — 3 очка: 12 − 9 = 3. Теперь наоборот: известно, что после хода стало −5, а изменение было −6. Начальное равно конечному минус изменение: −5 − (−6) = +1. Умение разворачивать такую связку в любую сторону закрывает все три вида вопросов сразу. Проверь последнее равенство по прямой: от +1 шаг на 6 влево — и правда окажешься на −5.

В краеведении и географии те же навыки нужны постоянно: высота над уровнем моря твоего города, падение реки, глубина карьеров. В физике изменение величин станет отдельным понятием для скорости нагревания и силы тока. А пока проверь себя: в тренажёре задачи идут от термометра к счёту и деньгам, и в каждой спрашивается либо значение, либо изменение — успей различить их до ответа. После этого задачи со знаками перестанут быть «страшными»: это та же арифметика, только с указанием направления.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема