Буквенные выражения и уравнения 6 класс: примеры решений
Записываем свойства действий буквами, упрощаем выражения приведением подобных и решаем уравнения переносом слагаемых — с примерами, ловушками и тренажёром.
В субботу вы с папой по дороге на дачу купили 6 досок по 250 р. и 4 бруска по 80 р. Посчитать потраченное просто: 6 · 250 + 4 · 80 = 1500 + 320 = 1820 р. Через неделю покупка повторилась, только досок взяли 9, а брусков — 5. Считать заново? Вместо чисел поставим буквы: пусть n — число досок, k — число брусков, и расход записывается короткой строкой 250n + 80k. Подставил новые значения — получил новую сумму, пересчитывать ничего не нужно. Такая запись называется буквенным выражением, и это главный язык всей алгебры: формула площади, закон движения, тариф мобильной связи — всё это буквенные выражения, а в 6 классе ты учишься их записывать, упрощать и решать.
Буквенным выражением называют запись из чисел, букв и знаков действий. Буква играет роль окошка: подставь в него число — получится числовое выражение, которое можно вычислить. Значение выражения 250n + 80k при n = 9 и k = 5 равно 250 · 9 + 80 · 5 = 2650. При других значениях букв выйдет другое число, поэтому говорят: значение буквенного выражения зависит от значений букв. Важная деталь: одинаковые буквы в записи означают одно и то же число. В выражении 3a + 2a под буквой a всюду прячется одна и та же величина — именно поэтому такие слагаемые можно складывать, и сейчас ты поймёшь, почему.
Буквенная запись свойств действий
Свойства сложения и умножения ты знаешь давно, но до сих пор они записывались словами и отдельными примерами. Теперь оформим их по-взрослому — буквами. От перестановки слагаемых сумма не меняется: a + b = b + a. Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего: (a + b) + c = a + (b + c). Точно так же устроено умножение: множители можно менять местами и по-разному группировать, произведение от этого не меняется. Буквенная запись в десятки раз короче слов и работает сразу для всех чисел сразу — в этом её сила: одно равенство заменяет бесконечный список примеров.
| Свойство | Буквенная запись | Проверка на числах |
|---|---|---|
| Переместительное, сложение | a + b = b + a | 3 + 8 = 8 + 3 |
| Сочетательное, сложение | (a + b) + c = a + (b + c) | (2 + 9) + 5 = 2 + (9 + 5) |
| Переместительное, умножение | a · b = b · a | 4 · 7 = 7 · 4 |
| Сочетательное, умножение | (a · b) · c = a · (b · c) | 2 · (5 · 9) = (2 · 5) · 9 |
| Распределительное | (a + b) · c = a · c + b · c | (3 + 6) · 4 = 3 · 4 + 6 · 4 |
Распределительное свойство — самый рабочий из всех: оно соединяет умножение со сложением и позволяет раскрывать скобки. Запись 3 · (x + 5) превращается в 3x + 15: умножили на 3 каждое слагаемое по очереди. Свойство работает и в обратную сторону: если в сумме 7m + 7n оба слагаемых содержат множитель 7, его выносят за скобку и получают 7(m + n). То же свойство ускоряет устный счёт: 4 · 48 = 4 · (40 + 8) = 160 + 32 = 192. Умножение распределяется и на разность: (a − b) · c = a · c − b · c, так что скобки раскрываются одинаково и с плюсом, и с минусом внутри.
Подобные слагаемые и упрощение выражений
Слагаемые, которые отличаются только числовым множителем, называют подобными. В записи 5x + 3x − 2x все три слагаемых подобны: буква одна и та же, различается лишь коэффициент — так называют числовой множитель перед буквенной частью. Подобные слагаемые складывают по распределительному свойству: общий множитель x выносится за скобку, и остаётся (5 + 3 − 2) · x = 6x. Складывать коэффициенты можно только у подобных слагаемых: 4x и 4y подобными не считаются, сколько их ни переставляй. Упростить выражение — значит заменить его более короткой записью, значение которой при любых буквах совпадает с исходным.
- Находим все подобные слагаемые: 7a, −2a и a — у них одна и та же буква.
- Складываем их коэффициенты: 7 − 2 + 1 = 6, буква остаётся прежней.
- Число 4 ни с чем не подобно, переписываем его без изменений.
- Проверка подстановкой: при a = 2 исходная запись даёт 14 − 4 + 4 + 2 = 16, а упрощённая 6 · 2 + 4 = 16. Совпало.
Живой пример из магазина. Тетрадь стоит a р., альбом — на 15 р. дороже, то есть a + 15. Покупка из 3 тетрадей и 2 альбомов стоит 3a + 2(a + 15). Раскрываем скобки и приводим подобные: 3a + 2a + 30 = 5a + 30. Вот зачем нужно упрощение: вместо длинной записи осталась короткая, которую легко вычислить для любой цены тетради. Подставь a = 20 — и покупка обойдётся в 130 р., подставь a = 25 — в 155 р. Одна формула отвечает сразу на все вопросы о стоимости.
Уравнение и его корень
Равенство, содержащее букву, значение которой требуется найти, называют уравнением. Корень уравнения — это значение буквы, при котором равенство оказывается верным. В уравнении x + 9 = 17 корнем будет 8: только при подстановке восьмёрки обе части совпадают. Корней может быть несколько, ровно один или не быть вовсе — например, уравнение x = x + 3 не имеет корней ни при каком числе, ведь к любому числу нельзя прибавить три и остаться на месте. Проверить, является ли конкретное число корнем, просто: подставь его в уравнение и вычисли обе части по отдельности.
- Буквенное выражение#
- запись из чисел, букв и знаков действий
- Коэффициент#
- числовой множитель при буквенной части
- Корень уравнения#
- значение буквы, при котором равенство верно
- Подобные слагаемые#
- слагаемые с одинаковой буквенной частью
Основа решения линейных уравнений — перенос слагаемых из одной части в другую со сменой знака. Представь равноплечие весы: обе части уравнения равны, и если снять с каждой чаши поровну, равновесие сохранится. Возьмём 4x + 7 = 2x + 15. Хочется собрать все слагаемые с буквой слева, а числа — справа. Вычтем из обеих частей 2x: останется 2x + 7 = 15. Теперь вычтем из обеих частей 7: останется 2x = 8. Те же действия записывают одной строкой: слагаемое 2x перешло влево как −2x, а слагаемое 7 — вправо как −7. Осталось разделить обе части на 2 и получить x = 4.
- Переносим 2x влево, а 7 вправо — со сменой знаков у обоих слагаемых.
- Приводим подобные слагаемые в обеих частях.
- Делим обе части на коэффициент при букве.
- Проверка: 4 · 4 + 7 = 23 и 2 · 4 + 15 = 23 — равенство верно, значит 4 действительно корень.
Слагаемое при переносе из одной части уравнения в другую меняет на противоположный. Сначала собираем все слагаемые с в одной части, затем делим обе части на .
Банк слов
Составляем уравнение по условию задачи
Главная сила букв — текстовые задачи. Читаем условие: в одной корзине яблок втрое больше, чем в другой, а всего в них 32 кг. Обозначим меньшую массу за x, тогда большая масса равна 3x, и вместе получается x + 3x = 32. Упрощаем левую часть: 4x = 32, отсюда x = 8. Ответ: в маленькой корзине 8 кг, в большой 24 кг. Обрати внимание на выбор неизвестного: удобнее обозначать буквой меньшую величину или ту, с которой сравнивают, — тогда остальные величины выражаются через неё коротко и без дробей.
Составив уравнение, всегда проверяй ответ на здравый смысл: масса не бывает отрицательной, количество людей — дробным, скорость автобуса — тысячей километров в час. Если ответ абсурден, ищи ошибку в записи уравнения или в выборе x. Приём «обозначь и вырази» работает и в геометрии — периметр прямоугольника записывают как 2a + 2b, и в физике — путь равен скорости, умноженной на время, и в расчёте скидок в магазине. Буквенная запись превращает жизненную ситуацию в короткую модель, а уравнение — это способ задать модели конкретный вопрос и получить число.
Дальше — тренажёр. В первых задачах подставляй числа в буквенные выражения и упрощай подобные, в средних решай уравнения переносом, в последних собирай уравнение из текста задачи. Если сомневаешься в знаке, возвращайся к весам: с обеих чаш убираем поровну, и равенство остаётся верным. Навык этот будет с тобой до конца школы — уравнения ждут в физике, химии и геометрии, и везде первый шаг один и тот же: перевести слова условия на язык букв.
Проверь себя
Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»
1 Найди значение выражения 3a + 2b при a = 6 и b = 4.
2 Какая запись выражает сочетательное свойство умножения?
3 Верно ли, что слагаемые 7x и 2x подобны?
4 Какие выражения упрощаются к 10x?
5 Расположи шаги решения уравнения 2x + 5 = 17 в правильном порядке.
6 Сопоставь запись и её смысл.
Нажми на элемент слева, затем на его пару справа. Повторное нажатие отменяет связь.
7 Дополни: слагаемые, отличающиеся только числовым множителем, называют ___, а значение буквы, при котором уравнение превращается в верное равенство, — ___.
Выбери подходящее слово в каждом пропуске.
Слагаемые, отличающиеся только числовым множителем, называют , а значение буквы, при котором уравнение превращается в верное равенство, — .
Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.
Частые вопросы
Как решать уравнения с переносом слагаемых?
Слагаемые с буквой собери слева, числа — справа, каждое переносимое слагаемое меняет знак на противоположный. Затем приведи подобные и раздели обе части на коэффициент при букве.
Что такое корень уравнения простыми словами?
Это число, которое при подстановке вместо буквы делает равенство верным. Проверить его просто: подставь и посчитай обе части.
Почему нельзя складывать 2x и 3x²?
У этих слагаемых разные буквенные части: x и x в квадрате. Подобными считаются только слагаемые с одинаковой буквенной частью.
Как составить уравнение по условию задачи?
Обозначь за x меньшую или сравниваемую величину, вырази остальные через неё и запиши равенство из условия. Реши уравнение и проверь ответ на здравый смысл.