Прямая и обратная пропорциональность

Цена тетради не меняется, а стоимость растёт вместе с количеством тетрадей. Длина пути не меняется, но чем выше скорость, тем меньше времени займёт дорога. Это два разных вида зависимости величин: в одном случае величины растут вместе, в другом — одна растёт, а другая убывает. Уметь различать их — значит решать половину практических задач 6 класса без ошибок: от покупок и оплаты работы до карт и чертежей.

Прямая пропорциональность

Зависимость называют прямой пропорциональностью, если при увеличении одной величины в несколько раз другая увеличивается во столько же раз. Пример: тетрадь стоит 12 р. Одна тетрадь — 12 р., две — 24, три — 36, пять — 60. Удвоил количество — удвоилась стоимость, утроил — утроилась. Такие величины называют прямо пропорциональными, и в жизни они встречаются чаще всего.

Прямая пропорциональность распознаётся по постоянному отношению. Подели стоимость на количество: $12:1=12$, $24:2=12$, $60:5=12$. Отношение соответствующих значений всё время одно и то же — это цена одной тетради. Его называют коэффициентом пропорциональности и обозначают буквой k. Коэффициент отвечает на вопрос: сколько единиц одной величины приходится на единицу другой.

Примеров прямой пропорциональности вокруг много: стоимость и количество товара по одной цене, путь и время при одной скорости, масса и объём одной жидкости, число одинаковых деталей и их общая масса. Проверка одна: подели значения друг на друга — отношение должно быть постоянным. Соберём примеры в таблицу.

Таблица показывает главную примету прямой пропорциональности: за парами величин прячется постоянный множитель. Найдёшь его — задача решается одним умножением. Цена за штуку, скорость, масса одной коробки — все эти коэффициенты знакомы тебе ещё с 5 класса, просто раньше их не называли буквой k.

Обратная пропорциональность

Зависимость называют обратной пропорциональностью, если при увеличении одной величины в несколько раз другая уменьшается во столько же раз. Классика — движение: на пути в 120 км со скоростью 60 км/ч нужно 2 ч, со скоростью 40 км/ч — 3 ч, со скоростью 30 км/ч — 4 ч. Скорость выросла в полтора раза — время сократилось в полтора раза. Путь один и тот же, а время и скорость «тянут канат» в разные стороны.

Обратная пропорциональность распознаётся по постоянному произведению. Умножь скорость на время: $60\cdot 2=120$, $40\cdot 3=120$, $30\cdot 4=120$. Произведение соответствующих значений всё время одно и то же — это весь путь. В формуле прямой пропорциональности было постоянное отношение, здесь — постоянное произведение.

Ещё примеры обратной пропорциональности: число рабочих и время одной работы, цена и количество товара на одну и ту же сумму денег, длина и ширина прямоугольника одной площади. Во всех парах спрятано постоянное произведение: объём работы, сумма денег, площадь. Найдёшь его — и задача решится в одно действие.

Числа в обратной зависимости устроены симметрично: все пары значений выписываются подряд, и произведение в каждой строке таблицы одно и то же. Для пути 120 км это пары 60 и 2, 40 и 3, 30 и 4, 20 и 6. Заметь: скорость 120 и время 1 тоже подходят — за час со скоростью 120 км/ч как раз проходится весь путь. Чем больше строк в такой таблице, тем надёжнее видна закономерность: произведение не меняется, хотя множители постоянно пляшут.

Таблицы зависимостей: как отличить типы

Зависимость удобно проверять таблицей: в верхней строке значения первой величины, в нижней — второй. Удвой верхнее значение и посмотри на нижнюю строку: выросла во столько же раз — прямая пропорциональность, ополовинилась — обратная. Сменилась как-то иначе — пропорциональности нет вовсе. Например, возраст человека и его рост растут вместе, но не пропорционально: шестилетний выше годовалого не в шесть раз.

Метод отношений решает задачи на пропорциональность в два шага. Первый: найди отношение известных значений — во сколько раз отличается одна величина. Второй: при прямой пропорциональности вторую величину умножь на это же отношение, при обратной — раздели на него, ведь там зависимость перевёрнута. Разберём на задаче про детали.

Заметь: в прямой задаче оба пути — через коэффициент и через отношение — равноправны. В обратной задаче главное не перепутать направление: если рабочих стало вдвое больше, время делится на два, а не умножается. Перед решением всегда называй тип зависимости вслух — половина ошибок исчезает уже от этого.

Масштаб: пропорциональность на карте

Масштаб — прямая пропорциональность, записанная в одну строку. Запись 1 : 1000 означает: один сантиметр на карте соответствует 1000 сантиметров на местности, то есть 10 метрам. Все расстояния на карте меньше реальных в одно и то же число раз, поэтому карта сохраняет форму местности. Чтобы перевести расстояние с карты на местность, умножь его на второе число масштаба.

Разбери пример. На карте с масштабом 1 : 10000 расстояние между деревнями 4 см. Каждому сантиметру карты соответствует 10000 см местности, то есть 100 м. Значит, между деревнями $4\cdot 100=400$ м. Обратная задача: на местности 350 м — сколько это на карте? Делим 350 на 100: получаем 3,5 см. Тот же приём работает в задачах про чертежи деталей и планы квартир.

В задачах масштаб часто сочетается с переводом единиц, и здесь нужна аккуратность. Сначала разберись, сколько сантиметров местности скрывается за одним сантиметром карты, потом переводи их в метры или километры. Для 1 : 100 это 100 сантиметров, то есть один метр; для 1 : 100000 — 100000 сантиметров, то есть один километр. Промежуточный шаг с сантиметрами защищает от потери нулей — главной ошибки в задачах на масштаб.

Масштаб объясняет и слова «пропорционально» из взрослой речи: чертёж пропорционален детали, модель самолёта пропорциональна настоящему самолёту. Уменьшение в одно и то же число раз по всем направлениям сохраняет форму — именно поэтому уменьшенная копия остаётся похожей на оригинал, а не превращается в другое изображение.

Итоги: словарь и алгоритм

• Составь таблицу значений и удвой первое значение
• Вторая величина выросла во столько же — прямая пропорциональность
• Вторая величина уменьшилась во столько же — обратная пропорциональность
• У прямой постоянное отношение, у обратной — постоянное произведение
• Метод отношений: во сколько раз изменилась одна величина, так же меняется вторая
• Масштаб: умножай на второе число записи, чтобы перейти с карты на местность

Прямая пропорциональность#

при увеличении одной величины в несколько раз другая увеличивается во столько же

Обратная пропорциональность#

при увеличении одной величины в несколько раз другая уменьшается во столько же

Коэффициент пропорциональности#

постоянное отношение соответствующих значений в прямой зависимости

Метод отношений#

решение задачи в два шага: найти отношение и применить его ко второй величине

Масштаб#

отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности

Дальше зависимости станут формулами функций: прямая пропорциональность превратится в график-прямую, обратная — в гиперболу, и оба графика вы будете строить в алгебре. А пока отрабатывайте главное умение этой темы: за минуту определить тип зависимости и выбрать действие — умножение или деление. Тренажёр ниже устроен именно так: сначала тип, потом расчёт.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема