10 XP
ОГЭ · Математика · задание 171 балл · ≈6 мин

Задание 17 ОГЭ: Окружности: касательные, вписанные углы, длины

Задание 17 — про окружности: касательная и радиус образуют прямой угол, вписанный угол вдвое меньше центрального, длина окружности и площадь круга считаются через π. Всё решение укладывается в одно-два действия с одной из этих связок. Балл теряют, когда приравнивают вписанный и центральный углы или ищут отрезок касательной «на глаз», не заметив прямоугольный треугольник.

Все задания Математика

Что проверяет задание

Геометрия: расчёт окружностей. Это задание с коротким ответом, который проверяется автоматически. Одна арифметическая ошибка — ноль баллов, поэтому скорость и аккуратность здесь важнее гениальности.

Формулы к заданию

Вписанный угол вдвое меньше центрального на той же дуге
Длина окружности
Площадь круга

Разбор типовых задач

Пример 1

К окружности с центром O и радиусом 8 проведена касательная в точке T. Точка A лежит на касательной, причём OA = 17. Найди отрезок AT.

Решение по шагам
  1. Радиус в точку касания перпендикулярен касательной, поэтому треугольник OTA прямоугольный с гипотенузой OA.
  2. Катет AT ищем по теореме Пифагора: разность квадратов.
  3. Извлекаем корень.

Ответ: 15

Пример 2

Центральный угол AOB равен 84°. Найди вписанный угол ACB, который опирается на ту же дугу.

Решение по шагам
  1. Вершина A лежит на окружности — угол ACB вписанный, а AOB с вершиной в центре — центральный.
  2. Оба угла опираются на одну дугу AB, значит вписанный вдвое меньше центрального.
  3. Считаем: 84 : 2 = 42.

Ответ: 42°

Пример 3

Диаметр окружности равен 12. Найди длину окружности, считая π равным 3.

Решение по шагам
  1. Радиус — половина диаметра.
  2. Подставляем в формулу длины окружности.
  3. Считаем: 2 · 3 · 6 = 36.

Ответ: 36

Тренажёр задания (числа меняются)

Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»

Вписанный угол равен 83°. Найди центральный угол, опирающийся на ту же дугу. В ответе укажи число (градусов).

Диаметр окружности равен 15. Найди длину окружности, считая π равным 3. В ответе укажи число.

Считая π равным 3, найди площадь круга с радиусом 8. В ответе укажи число.

Дуга окружности имеет градусную меру 239°. Найди градусную меру оставшейся части окружности. В ответе укажи число (градусов).

Два вписанных угла опираются на одну и ту же дугу. Что можно сказать о них?

Утверждение: вписанный угол равен центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.

Вписанный угол равен 69°. Найди центральный угол, опирающийся на ту же дугу. В ответе укажи число (градусов).

Диаметр окружности равен 8. Найди длину окружности, считая π равным 3. В ответе укажи число.

Типичные ошибки

  • Приравнивают вписанный и центральный углы, хотя вписанный ровно вдвое меньше.
  • Умножают диаметр ещё и на 2, хотя формула C = π·d уже содержит диаметр целиком.
  • Ищут отрезок касательной как разность расстояний, не заметив прямоугольный треугольник с радиусом.
  • Забывают, что вся окружность — это 360°, и делят её на 4 части вместо двух дуг.

Повторить теорию по математике

Разбор задания опирается на формулы и приёмы — если тема вспоминается с трудом, сначала пробегите уроки:

Формат задания 17 на экзамене

Балл за задание: 1. Ориентир по времени: ≈6 минут вместе с оформлением решения. Проверяемая тема: геометрия: расчёт окружностей. На тренировке лимитов нет — сначала точность, скорость придёт после 10–15 решённых задач. Планируйте экзамен так, чтобы не застревать: если решение не идёт — зафиксируйте промежуточный результат, переходите дальше и возвращайтесь в конце, потому что остальные задания дадут больше суммарных баллов.

Частые вопросы про задание 17

Чем центральный угол отличается от вписанного?

Вершина центрального лежит в центре окружности, а вершина вписанного — на самой окружности. Поэтому вписанный и получается вдвое меньше на той же дуге.

Какое значение π брать в задании 17?

То, которое названо в условии, чаще всего 3. Если значение не указано, ответ можно оставить с π, например 10π.

Почему касательная перпендикулярна радиусу?

Радиус в точку касания — кратчайший путь от центра к прямой, а кратчайший путь всегда перпендикулярен прямой. Из этого факта вырастает весь прямоугольный треугольник с касательной.

Похожие задания