ОГЭ · Математика · задание 202 балла · ≈15 мин

Задание 20 ОГЭ: Уравнение, неравенство или их системы

Q: Почему в дробно-рациональном уравнении появляются посторонние корни?

Когда обе части умножают на выражение с переменной, новое уравнение может иметь корни, при которых знаменатель равен нулю. Они подходят новому уравнению, но не исходному, поэтому каждый корень проверяют по ОДЗ.

Q: Как решить квадратное уравнение быстрее, чем через полный дискриминант?

Если второй коэффициент чётный, считай дискриминант через половину коэффициента: D = (b/2)² − ac, а корни дели на a. Часто быстрее работает теорема Виета: подбери два числа по сумме и произведению.

Q: Что должно быть в решении, чтобы получить оба балла за задание 20?

Полный ход: ОДЗ, преобразование к квадратному уравнению, вычисление корней и отбор по ОДЗ или проверка по условию. В ответе — все верные корни и ни одного лишнего.

Задание 20 — развёрнутое решение уравнения, неравенства или системы: чаще всего это дробно-рациональное уравнение либо система из линейного и квадратного уравнения. За полное верное решение дают 2 балла. Типовая потеря балла — посторонний корень, который не проверили по ОДЗ: весь ход решения верный, а ответ в итоге неверный.

Все задания Математика

Что проверяет задание

Уравнения и неравенства. Это задание второй части — здесь нужен развёрнутый ответ с полным решением. Его проверяет эксперт, поэтому оформление и логика шагов так же важны, как сам ответ.

Формулы к заданию

a x^{2} + b x + c = 0

Общий вид квадратного уравнения

D = b^{2} - 4 a c

Дискриминант

x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}

Корни квадратного уравнения

Разбор типовых задач

Пример 1

Решите дробно-рациональное уравнение: x + 12/(x − 1) = 8.

x + \frac{12}{x - 1} = 8

Решение по шагам

Выпиши ОДЗ: знаменатель не должен обращаться в ноль.
$x - 1 \neq = 0, x \neq = 1$
Умножь обе части уравнения на (x − 1), чтобы избавиться от дроби.
$x (x - 1) + 12 = 8 (x - 1)$
Раскрой скобки и перенеси всё в левую часть с противоположными знаками.
$x^{2} - x + 12 - 8 x + 8 = 0$
Приведи подобные: получилось квадратное уравнение.
$x^{2} - 9 x + 20 = 0$
Найди дискриминант и корни.
$D = 81 - 80 = 1, x = \frac{9 \pm 1}{2}$
Корни x = 5 и x = 4. Проверь по ОДЗ: оба не равны 1, значит оба подходят. В ответ запиши оба числа.
$x_{1} = 5, x_{2} = 4$

Ответ: 4; 5

Пример 2

Решите систему уравнений x − y = 4, xy = 5.

x - y = 4, x y = 5

Решение по шагам

Вырази x из первого уравнения: оно линейное, это удобно.
$x = y + 4$
Подставь полученное выражение во второе уравнение.
$(y + 4) y = 5$
Раскрой скобки и приведи уравнение к квадратному.
$y^{2} + 4 y - 5 = 0$
Найди дискриминант и корни.
$D = 16 + 20 = 36, y_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 6}{2}$
Получились y = 1 и y = −5. Для каждого значения y найди x по формуле x = y + 4.
$y_{1} = 1, y_{2} = - 5$
Вычисли пары: при y = 1 будет x = 5, при y = −5 будет x = −1. Обе пары удовлетворяют обоим уравнениям системы.
$x_{1} = 1 + 4 = 5, x_{2} = - 5 + 4 = - 1$

Ответ: (5; 1); (−1; −5)

Пример 3

Решите систему неравенств: 5x − 2 ≥ 3x + 4 и x − 1 < 5. В ответе запиши множество решений.

Решение по шагам

Реши первое неравенство: перенеси слагаемые с x влево, числа — вправо.
$5 x - 3 x \geq 4 + 2, 2 x \geq 6, x \geq 3$
Реши второе неравенство: единицу перенеси вправо со сменой знака.
$x < 5 + 1, x < 6$
Найди пересечение решений: иксы должны быть не меньше трёх и одновременно меньше шести.
$3 \leq x < 6$
Отметь оба решения на числовой прямой: точка 3 закрашена, точка 6 выколота. В ответ — отрезок от 3 до 6 без правого конца.

Ответ: [3; 6)

Тренажёр задания (числа меняются)

Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»

Реши уравнение x² − (9 + 3)x + 3 · 9 = 0. В ответе укажи больший корень.

Реши неравенство (x − 5)(x − 12) ≤ 0. В ответе укажи наибольшее целое решение.

Реши систему уравнений x = 3, x + y = 13. В ответе укажи значение y.

Найди сумму корней уравнения (x − 6)(x − 6) = 0.

Сколько корней имеет уравнение (x² − 9)/(x + 3) = 0?

После умножения обеих частей дробно-рационального уравнения на знаменатель найденные корни можно сразу записывать в ответ: проверять их по ОДЗ не нужно.

Реши уравнение x² − (6 + 3)x + 3 · 6 = 0. В ответе укажи больший корень.

Реши неравенство (x − 6)(x − 10) ≤ 0. В ответе укажи наибольшее целое решение.

Типичные ошибки

Забывают ОДЗ и записывают в ответ посторонний корень, обращающий знаменатель в ноль.
Теряют знак при переносе слагаемых: минус уходит не у того члена, и дискриминант считается неверно.
В неравенствах делят на отрицательное число без смены знака или теряют граничные точки при нестрогих знаках.
Используют только одно уравнение системы и записывают пару, которая не проходит по второму.

Повторить теорию по математике

Разбор задания опирается на формулы и приёмы — если тема вспоминается с трудом, сначала пробегите уроки:

Формат задания 20 на экзамене

Балл за задание: 2. Ориентир по времени: ≈15 минут вместе с оформлением решения. Проверяемая тема: уравнения и неравенства. На тренировке лимитов нет — сначала точность, скорость придёт после 10–15 решённых задач. Планируйте экзамен так, чтобы не застревать: если решение не идёт — зафиксируйте промежуточный результат, переходите дальше и возвращайтесь в конце, потому что остальные задания дадут больше суммарных баллов.

Частые вопросы про задание 20

Почему в дробно-рациональном уравнении появляются посторонние корни?

Когда обе части умножают на выражение с переменной, новое уравнение может иметь корни, при которых знаменатель равен нулю. Они подходят новому уравнению, но не исходному, поэтому каждый корень проверяют по ОДЗ.

Как решить квадратное уравнение быстрее, чем через полный дискриминант?

Если второй коэффициент чётный, считай дискриминант через половину коэффициента: D = (b/2)² − ac, а корни дели на a. Часто быстрее работает теорема Виета: подбери два числа по сумме и произведению.

Что должно быть в решении, чтобы получить оба балла за задание 20?

Полный ход: ОДЗ, преобразование к квадратному уравнению, вычисление корней и отбор по ОДЗ или проверка по условию. В ответе — все верные корни и ни одного лишнего.

Что проверяет задание

Формулы к заданию

Разбор типовых задач

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Тренажёр задания (числа меняются)

Типичные ошибки

Повторить теорию по математике

Формат задания 20 на экзамене

Частые вопросы про задание 20

Похожие задания