Треугольник Паскаля и бином Ньютона — тренажёр
Тренировка по теме «Треугольник Паскаля и бином Ньютона»: задачи с меняющимися числами, мгновенная проверка, подсказка и подробный разбор к каждой. Ниже — шпаргалка по теме, разобранные примеры и ответы на частые вопросы.
Тренировка
0/81 Найди коэффициент при x^2 в разложении (x+2)^4.
Выбери ответ и нажми «Проверить». Подсказка рядом — пользоваться не стыдно.
Разбор примеров из тренажёра
16 задач из пула этого тренажёра с полной логикой решения: условие, подсказка, как решать и ответ. В самом тренажёре числа в каждой задаче обновляются от раунда к раунду — принцип решения остаётся тем же.
Пример 1. Найди коэффициент при x^2 в разложении (x+6)^4.
Подсказка. Позиция k = 2 строки n = 4 даёт 6, дальше домножь на 6^2.
Как решать. Строка n = 4 содержит числа 1, 4, 6, 4, 1. Слагаемое с x^2 берёт коэффициент C(4, 2) = 6 и множитель 6^2 от константы в двух оставшихся скобках: 6·6·6.
Ответ: 216
Пример 2. Найди сумму всех коэффициентов разложения (x+2)^3.
Подсказка. Подставь x = 1 прямо в скобку: останется (1+2)^3.
Как решать. Сумма коэффициентов — это значение многочлена при x = 1: (1+2)^3 = 2^3 + 3·2^2 + 3·2 + 1. Раскрывать скобки не обязательно.
Ответ: 27
Пример 3. Найди сумму коэффициентов при чётных степенях x в разложении (1+x)^7.
Подсказка. Сумма всех коэффициентов равна 2^7, и она делится строго пополам между чётными и нечётными степенями.
Как решать. Сумма всех коэффициентов разложения (1+x)^7 равна 2^7 — подстановка x = 1. Альтернирующая сумма при x = −1 равна (1−1)^7 = 0, значит чётные и нечётные степени несут по половине: 2^7 : 2.
Ответ: 64
Пример 4. Найди свободный член разложения (x+5)^5 — слагаемое без x.
Подсказка. Это последняя позиция строки n = 5: константа возводится в пятую степень.
Как решать. Свободный член — это коэффициент при x^0, позиция k = 0 строки n = 5: C(5, 0)·5^5 = 5^5. Единственный множитель без x — сама константа, и она берётся из всех пяти скобок.
Ответ: 3125
Пример 5. Найди коэффициент при x^2 в разложении (x+2)^4.
Подсказка. Позиция k = 2 строки n = 4 даёт 6, дальше домножь на 2^2.
Как решать. Строка n = 4 содержит числа 1, 4, 6, 4, 1. Слагаемое с x^2 берёт коэффициент C(4, 2) = 6 и множитель 2^2 от константы в двух оставшихся скобках: 6·2·2.
Ответ: 24
Пример 6. Найди сумму всех коэффициентов разложения (x+8)^3.
Подсказка. Подставь x = 1 прямо в скобку: останется (1+8)^3.
Как решать. Сумма коэффициентов — это значение многочлена при x = 1: (1+8)^3 = 8^3 + 3·8^2 + 3·8 + 1. Раскрывать скобки не обязательно.
Ответ: 729
Пример 7. Найди сумму коэффициентов при чётных степенях x в разложении (1+x)^4.
Подсказка. Сумма всех коэффициентов равна 2^4, и она делится строго пополам между чётными и нечётными степенями.
Как решать. Сумма всех коэффициентов разложения (1+x)^4 равна 2^4 — подстановка x = 1. Альтернирующая сумма при x = −1 равна (1−1)^4 = 0, значит чётные и нечётные степени несут по половине: 2^4 : 2.
Ответ: 8
Пример 8. Найди свободный член разложения (x+4)^5 — слагаемое без x.
Подсказка. Это последняя позиция строки n = 5: константа возводится в пятую степень.
Как решать. Свободный член — это коэффициент при x^0, позиция k = 0 строки n = 5: C(5, 0)·4^5 = 4^5. Единственный множитель без x — сама константа, и она берётся из всех пяти скобок.
Ответ: 1024
Пример 9. Найди коэффициент при x^2 в разложении (x+5)^4.
Подсказка. Позиция k = 2 строки n = 4 даёт 6, дальше домножь на 5^2.
Как решать. Строка n = 4 содержит числа 1, 4, 6, 4, 1. Слагаемое с x^2 берёт коэффициент C(4, 2) = 6 и множитель 5^2 от константы в двух оставшихся скобках: 6·5·5.
Ответ: 150
Пример 10. Найди сумму всех коэффициентов разложения (x+5)^3.
Подсказка. Подставь x = 1 прямо в скобку: останется (1+5)^3.
Как решать. Сумма коэффициентов — это значение многочлена при x = 1: (1+5)^3 = 5^3 + 3·5^2 + 3·5 + 1. Раскрывать скобки не обязательно.
Ответ: 216
Пример 11. Найди свободный член разложения (x+3)^5 — слагаемое без x.
Подсказка. Это последняя позиция строки n = 5: константа возводится в пятую степень.
Как решать. Свободный член — это коэффициент при x^0, позиция k = 0 строки n = 5: C(5, 0)·3^5 = 3^5. Единственный множитель без x — сама константа, и она берётся из всех пяти скобок.
Ответ: 243
Пример 12. Найди коэффициент при x^2 в разложении (x+7)^4.
Подсказка. Позиция k = 2 строки n = 4 даёт 6, дальше домножь на 7^2.
Как решать. Строка n = 4 содержит числа 1, 4, 6, 4, 1. Слагаемое с x^2 берёт коэффициент C(4, 2) = 6 и множитель 7^2 от константы в двух оставшихся скобках: 6·7·7.
Ответ: 294
Пример 13. Найди сумму коэффициентов при чётных степенях x в разложении (1+x)^9.
Подсказка. Сумма всех коэффициентов равна 2^9, и она делится строго пополам между чётными и нечётными степенями.
Как решать. Сумма всех коэффициентов разложения (1+x)^9 равна 2^9 — подстановка x = 1. Альтернирующая сумма при x = −1 равна (1−1)^9 = 0, значит чётные и нечётные степени несут по половине: 2^9 : 2.
Ответ: 256
Пример 14. Найди свободный член разложения (x+2)^5 — слагаемое без x.
Подсказка. Это последняя позиция строки n = 5: константа возводится в пятую степень.
Как решать. Свободный член — это коэффициент при x^0, позиция k = 0 строки n = 5: C(5, 0)·2^5 = 2^5. Единственный множитель без x — сама константа, и она берётся из всех пяти скобок.
Ответ: 32
Пример 15. Найди сумму всех коэффициентов разложения (x+9)^3.
Подсказка. Подставь x = 1 прямо в скобку: останется (1+9)^3.
Как решать. Сумма коэффициентов — это значение многочлена при x = 1: (1+9)^3 = 9^3 + 3·9^2 + 3·9 + 1. Раскрывать скобки не обязательно.
Ответ: 1000
Пример 16. Найди сумму коэффициентов при чётных степенях x в разложении (1+x)^3.
Подсказка. Сумма всех коэффициентов равна 2^3, и она делится строго пополам между чётными и нечётными степенями.
Как решать. Сумма всех коэффициентов разложения (1+x)^3 равна 2^3 — подстановка x = 1. Альтернирующая сумма при x = −1 равна (1−1)^3 = 0, значит чётные и нечётные степени несут по половине: 2^3 : 2.
Ответ: 4
Вопросы для повторения темы
Контрольные вопросы по «Треугольник Паскаля и бином Ньютона» с верными ответами и пояснениями — проверь себя до запуска тренажёра.
Вопрос 1. Сколько слагаемых будет в полном разложении (a+b)^8?
Ответ: 9
Пояснение. Степень b пробегает все целые значения от 0 до 8 — по одному слагаемому на каждое. Значит, слагаемых всегда n+1, здесь 9.
Вопрос 2. Какие утверждения о треугольнике Паскаля верны?
Ответ: сумма чисел десятой строки равна 1024; в строке n = 7 два одинаковых наибольших числа; числа любой строки симметричны: C(n, k) = C(n, n−k)
Пояснение. Сумма строки 10 равна 2^10 = 1024, в нечётной строке 7 максимумы двойные (два числа по 35), симметрия верна всегда. А слагаемых в разложении n+1, потому что степень b начинается с нуля.
Вопрос 3. Найди коэффициент при x^2 в разложении (x+3)^4.
Ответ: 54
Пояснение. Строка n = 4, позиция k = 2: C(4, 2) = 6. Тройка стоит в оставшихся двух скобках и даёт множитель 3^2 = 9. Итого 6·9 = 54.
Вопрос 4. Сумма всех коэффициентов разложения (x−2)^5 равна −1.
Ответ: Верно
Пояснение. Сумма коэффициентов — это значение многочлена при x = 1: (1−2)^5 = (−1)^5 = −1. Скобка-разность и нечётная степень дают отрицательную сумму.
Вопрос 5. Расставь числа по возрастанию.
Ответ: наибольшее число строки n = 4 → сумма чисел строки n = 3 → C(5, 2) → наибольшее число строки n = 8
Пояснение. Значения: C(4, 2) = 6, сумма строки 3 равна 2^3 = 8, C(5, 2) = 10, наибольшее число строки 8 равно C(8, 4) = 70. По возрастанию: 6, 8, 10, 70.
Вопрос 6. Соедини величину и её значение.
Пояснение. Сумма строки 6 равна 2^6 = 64; позиция k = 3 строки 5 даёт C(5, 3) = 10; середина строки 6 — это C(6, 3) = 20; сумма коэффициентов ищется подстановкой y = 1: (3+1)^2 = 16.
Вопрос 7. Разложи запросы по приёмам решения.
Пояснение. Между слагаемыми в скобке стоит минус — знаки будут чередоваться: (2−x)^5, (3−a)^4, (b−4)^3. Суммы в скобках дают все плюсы: (1+y)^7, (x+5)^6, (m+n)^8.