Итоговая контрольная: Вероятность и статистика, 10 класс
Вопросы собраны из всех тем учебного года — как на настоящей контрольной. Пройдите её, чтобы понять, какие темы уже держатся уверенно, а какие стоит повторить перед следующим классом. Ниже — примеры заданий с разбором и ответы на частые вопросы.
Контрольная работа
Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»
1 На кубике событие A — «выпало чётное число», событие B — «выпало число, кратное трём». Что такое A ∩ B?
2 Сколько разных порядков может иметь расписание из шести разных уроков?
3 События A и B несовместны, P(A) = 0,3, P(B) = 0,4. Найди P(A или B).
4 Какие утверждения верны?
5 Из восьми сотрудников каждый пожал руку каждому по одному разу. Сколько всего было рукопожатий?
6 Сколько слагаемых будет в полном разложении (a+b)^8?
7 Какие утверждения о сочетаниях верны?
8 Замок состоит из трёх барабанов, на каждом 10 цифр. Сколько у него разных кодов, если цифры могут повторяться?
9 В каких задачах работает правило произведения?
Примеры заданий с разбором
Первые вопросы контрольной — с полным объяснением. В самой работе вопросы покрывают все темы года.
Вопрос 1. На кубике событие A — «выпало чётное число», событие B — «выпало число, кратное трём». Что такое A ∩ B?
Разбор. Пересечение собирает общие исходы: чётных три, кратных трём два, общая только шестёрка — она и чётная, и кратна трём. Значит, A ∩ B = {6}.
Ответ: {6}
Вопрос 2. Сколько разных порядков может иметь расписание из шести разных уроков?
Разбор. Это перестановки шести предметов: 6! = 6 · 5! = 720. Вариант 36 — это 6 · 6, а факториал растёт быстрее квадрата.
Ответ: 720
Вопрос 3. События A и B несовместны, P(A) = 0,3, P(B) = 0,4. Найди P(A или B).
Разбор. Несовместные события не пересекаются: 0,3 + 0,4 = 0,7. Вариант 0,12 — это произведение, будто события независимы; 0,58 — лишнее вычитание несуществующего пересечения; 1,2 — явный сигнал ошибки: вероятность не бывает больше единицы.
Ответ: 0,7
Вопрос 4. Какие утверждения верны?
Разбор. Противоположное событие работает всегда; включения и исключения — общий закон сложения; умножение верно при независимости, и оговорка в варианте есть. Третье утверждение забывает вычесть пересечение: без вычитания оно годится только для несовместных событий.
Ответ: 0,1,3
Вопрос 5. Из восьми сотрудников каждый пожал руку каждому по одному разу. Сколько всего было рукопожатий?
Разбор. Порядок не важен: рукопожатие Ивана и Ольги — то же, что Ольги и Ивана. Считаем сочетания C(8, 2) = 8 · 7 : 2 = 28. Ответ 56 получился бы при двойном счёте каждой пары.
Ответ: 28
Вопрос 6. Сколько слагаемых будет в полном разложении (a+b)^8?
Разбор. Степень b пробегает все целые значения от 0 до 8 — по одному слагаемому на каждое. Значит, слагаемых всегда n+1, здесь 9.
Ответ: 9
Что входит в контрольную: темы года
Все 6 тем программы 10 класса по вероятности и статистике — из них собираются вопросы. Кликните тему, чтобы повторить теорию: под названием — короткая аннотация, о чём она.
- Комбинаторика: перебор вариантов и правило умножения — Считаем варианты системно: полный перебор таблицей и деревом, правило произведения для «и», правило суммы для «или», двойной счёт, связь с классической вероятностью и приём достройки до полного перебора. На велосипеде стоит кодовый замок с тремя барабанами, на каждом барабане дес…
- Перестановки и факториалы — Факториал как число со свойствами: рекуррентная формула, 0! = 1, рост и грубые оценки, перестановки с повторениями, очереди, полки, расписания и вероятность. На афише школьного концерта пять номеров, и организатор расставляет их по порядку выступления. Пять разных номеров и пять …
- Размещения и сочетания — Различаем размещения и сочетания: выводим формулы A(n,k) и C(n,k), разбираем треугольник Паскаля, его свойства и связь с биномом Ньютона — от рукопожатий до комиссий. Учитель поручил двум ученикам организовать дежурство в актовом зале: «Саша и Женя» — и на этом закончилось. А на …
- Множества и события: операции и диаграммы Эйлера — Множества как язык событий для 10 класса: элементы и подмножества, объединение, пересечение, разность и дополнение, круги Эйлера, несовместные и противоположные события, перевод союзов «или» и «и», число элементов объединения. Перед нами школьная загадка, из-за которой в десятый …
- Вероятности сложных событий: сложение, умножение, противоположные — Ящик инструментов для сложных событий: сложение для несовместных и совместных, включения и исключения по диаграммам Эйлера, умножение с условной вероятностью, противоположное событие и приём «хотя бы один». На соревнованиях по стрельбе два стрелка уходят к своим мишеням: первый п…
- Треугольник Паскаля и бином Ньютона — Строим треугольник Паскаля по одному правилу сложения, читаем адреса чисел и суммы строк, выводим бином Ньютона и применяем его: коэффициенты при степенях, разности в скобках, подстановки x = 1 и x = −1. В прошлом уроке бином Ньютона появился в самом конце — одной фразой: строка …