Размещения и сочетания — тренажёр
Тренировка по теме «Размещения и сочетания»: задачи с меняющимися числами, мгновенная проверка, подсказка и подробный разбор к каждой. Ниже — шпаргалка по теме, разобранные примеры и ответы на частые вопросы.
Тренировка
0/81 В волейбольной секции занимаются 14 человек. Тренер назначает капитана и его заместителя — две разные роли. Сколькими способами можно распределить обе должности?
Выбери ответ и нажми «Проверить». Подсказка рядом — пользоваться не стыдно.
Разбор примеров из тренажёра
16 задач из пула этого тренажёра с полной логикой решения: условие, подсказка, как решать и ответ. В самом тренажёре числа в каждой задаче обновляются от раунда к раунду — принцип решения остаётся тем же.
Пример 1. В волейбольной секции занимаются 10 человек. Тренер назначает капитана и его заместителя — две разные роли. Сколькими способами можно распределить обе должности?
Подсказка. Две разные должности — это размещение из 10 по 2.
Как решать. Роли разные, порядок важен — размещения: A(10, 2) = 10·(10−1): на первую роль 10 кандидатов, на вторую — на одного меньше.
Ответ: 90
Пример 2. Из 5 учеников класса нужно выбрать двоих дежурных без назначения старшего. Сколько существует пар дежурных?
Подсказка. Посчитай 5·(5−1) и раздели пополам.
Как решать. Ролей нет, порядок не важен — сочетания: C(5, 2) = 5·(5−1) : 2, ведь каждая пара в размещениях посчитана дважды.
Ответ: 10
Пример 3. В совете старшеклассников 9 человек. Сколькими способами можно выбрать из них троих в редакционную коллегию, если должности у всех одинаковые?
Подсказка. Три множителя в числителе, шесть в знаменателе.
Как решать. Состав без ролей — сочетание: C(9, 3) = 9·(9−1)·(9−2) : 6, в знаменателе 3! = 6.
Ответ: 84
Пример 4. В финале забега бегут 10 спортсменов. Сколькими способами можно распределить золотую, серебряную и бронзовую медали?
Подсказка. Три разные медали — три роли, делить на 6 не нужно.
Как решать. Медали разные, порядок важен — размещения: A(10, 3) = 10·(10−1)·(10−2): на золото 10 претендентов, на серебро — одним меньше, на бронзу — ещё одним.
Ответ: 720
Пример 5. В волейбольной секции занимаются 6 человек. Тренер назначает капитана и его заместителя — две разные роли. Сколькими способами можно распределить обе должности?
Подсказка. Две разные должности — это размещение из 6 по 2.
Как решать. Роли разные, порядок важен — размещения: A(6, 2) = 6·(6−1): на первую роль 6 кандидатов, на вторую — на одного меньше.
Ответ: 30
Пример 6. Из 12 учеников класса нужно выбрать двоих дежурных без назначения старшего. Сколько существует пар дежурных?
Подсказка. Посчитай 12·(12−1) и раздели пополам.
Как решать. Ролей нет, порядок не важен — сочетания: C(12, 2) = 12·(12−1) : 2, ведь каждая пара в размещениях посчитана дважды.
Ответ: 66
Пример 7. В совете старшеклассников 5 человек. Сколькими способами можно выбрать из них троих в редакционную коллегию, если должности у всех одинаковые?
Подсказка. Три множителя в числителе, шесть в знаменателе.
Как решать. Состав без ролей — сочетание: C(5, 3) = 5·(5−1)·(5−2) : 6, в знаменателе 3! = 6.
Ответ: 10
Пример 8. В финале забега бегут 8 спортсменов. Сколькими способами можно распределить золотую, серебряную и бронзовую медали?
Подсказка. Три разные медали — три роли, делить на 6 не нужно.
Как решать. Медали разные, порядок важен — размещения: A(8, 3) = 8·(8−1)·(8−2): на золото 8 претендентов, на серебро — одним меньше, на бронзу — ещё одним.
Ответ: 336
Пример 9. В волейбольной секции занимаются 9 человек. Тренер назначает капитана и его заместителя — две разные роли. Сколькими способами можно распределить обе должности?
Подсказка. Две разные должности — это размещение из 9 по 2.
Как решать. Роли разные, порядок важен — размещения: A(9, 2) = 9·(9−1): на первую роль 9 кандидатов, на вторую — на одного меньше.
Ответ: 72
Пример 10. Из 9 учеников класса нужно выбрать двоих дежурных без назначения старшего. Сколько существует пар дежурных?
Подсказка. Посчитай 9·(9−1) и раздели пополам.
Как решать. Ролей нет, порядок не важен — сочетания: C(9, 2) = 9·(9−1) : 2, ведь каждая пара в размещениях посчитана дважды.
Ответ: 36
Пример 11. В финале забега бегут 7 спортсменов. Сколькими способами можно распределить золотую, серебряную и бронзовую медали?
Подсказка. Три разные медали — три роли, делить на 6 не нужно.
Как решать. Медали разные, порядок важен — размещения: A(7, 3) = 7·(7−1)·(7−2): на золото 7 претендентов, на серебро — одним меньше, на бронзу — ещё одним.
Ответ: 210
Пример 12. В волейбольной секции занимаются 12 человек. Тренер назначает капитана и его заместителя — две разные роли. Сколькими способами можно распределить обе должности?
Подсказка. Две разные должности — это размещение из 12 по 2.
Как решать. Роли разные, порядок важен — размещения: A(12, 2) = 12·(12−1): на первую роль 12 кандидатов, на вторую — на одного меньше.
Ответ: 132
Пример 13. Из 13 учеников класса нужно выбрать двоих дежурных без назначения старшего. Сколько существует пар дежурных?
Подсказка. Посчитай 13·(13−1) и раздели пополам.
Как решать. Ролей нет, порядок не важен — сочетания: C(13, 2) = 13·(13−1) : 2, ведь каждая пара в размещениях посчитана дважды.
Ответ: 78
Пример 14. В совете старшеклассников 10 человек. Сколькими способами можно выбрать из них троих в редакционную коллегию, если должности у всех одинаковые?
Подсказка. Три множителя в числителе, шесть в знаменателе.
Как решать. Состав без ролей — сочетание: C(10, 3) = 10·(10−1)·(10−2) : 6, в знаменателе 3! = 6.
Ответ: 120
Пример 15. В финале забега бегут 4 спортсменов. Сколькими способами можно распределить золотую, серебряную и бронзовую медали?
Подсказка. Три разные медали — три роли, делить на 6 не нужно.
Как решать. Медали разные, порядок важен — размещения: A(4, 3) = 4·(4−1)·(4−2): на золото 4 претендентов, на серебро — одним меньше, на бронзу — ещё одним.
Ответ: 24
Пример 16. Из 14 учеников класса нужно выбрать двоих дежурных без назначения старшего. Сколько существует пар дежурных?
Подсказка. Посчитай 14·(14−1) и раздели пополам.
Как решать. Ролей нет, порядок не важен — сочетания: C(14, 2) = 14·(14−1) : 2, ведь каждая пара в размещениях посчитана дважды.
Ответ: 91
Вопросы для повторения темы
Контрольные вопросы по «Размещения и сочетания» с верными ответами и пояснениями — проверь себя до запуска тренажёра.
Вопрос 1. Из восьми сотрудников каждый пожал руку каждому по одному разу. Сколько всего было рукопожатий?
Ответ: 28
Пояснение. Порядок не важен: рукопожатие Ивана и Ольги — то же, что Ольги и Ивана. Считаем сочетания C(8, 2) = 8 · 7 : 2 = 28. Ответ 56 получился бы при двойном счёте каждой пары.
Вопрос 2. Какие утверждения о сочетаниях верны?
Ответ: C(n, k) = C(n, n−k); сумма всех чисел n-й строки треугольника Паскаля равна 2^n; C(n, 0) = 1 при любом n
Пояснение. Симметрия, сумма строки 2^n и пустой выбор C(n,0) = 1 — верные свойства. А размещений не меньше сочетаний: раздача ролей умножает на k!, поэтому A(n,k) >= C(n,k).
Вопрос 3. В классе 10 учеников. Сколькими способами можно выбрать двоих дежурных, если роли у них одинаковые?
Ответ: 45
Пояснение. Порядок не важен — сочетание: C(10, 2) = 10 · 9 : 2 = 45 пар.
Вопрос 4. Чтобы выбрать старосту и заместителя из пяти кандидатов, подходит сочетание C(5, 2) = 10.
Ответ: Неверно
Пояснение. Должности разные, поэтому порядок важен: считаем размещения A(5, 2) = 5 · 4 = 20. Сочетание 10 потеряло бы половину вариантов, ведь каждая пара живёт в двух порядках.
Вопрос 5. Расставь числа по возрастанию.
Ответ: C(4, 2) → C(5, 2) → A(4, 2) → C(6, 2) → A(5, 2)
Пояснение. Значения: C(4,2) = 6, C(5,2) = 10, A(4,2) = 12, C(6,2) = 15, A(5,2) = 20 — именно в таком порядке они и выстроились.
Вопрос 6. Соедини обозначение и его значение.
Пояснение. A(5,2) = 5·4 = 20; C(5,2) = 20 : 2 = 10; C(6,3) = 6·5·4 : 6 = 20; A(4,3) = 4·3·2 = 24. Заметь: C(5,2) и C(6,3) равны 20, хотя n у них разное.
Вопрос 7. Разложи задачи по типам.
Пояснение. Представители, задачи и ассистенты — группы без ролей, там сочетания. Медали и две разные должности раздают ролями, там размещения.