Вероятность случайного события: классическое определение
Учимся мерить случайность числом: опыт и исходы, благоприятные варианты, формула P = m/n, противоположные события и таблица сумм двух кубиков.
Настольная игра подходит к концу, и для победы тебе нужна шестёрка. Кости в стакане, ход за тобой, а заранее известно только одно: какая-то грань выпадет точно. Именно в такие моменты удобнее всего мерить случайность числом: граней шесть, подходящая одна, значит шанс — один из шести. Ту же работу делают очереди, розыгрыши, лотерейные билеты и кодовые замки: везде есть набор равноправных вариантов и событие, которое ты ждёшь. В этом уроке научимся превращать «мне кажется, повезёт» в точную дробь.
Математика зовёт такую ситуацию опытом. Бросаешь кубик — это опыт; грань, которая выпала, — исход; утверждение о результате вроде «выпадет чётное число» — событие. Главная договорённость классической схемы: все исходы опыта равновозможны, то есть кубик не помнит прошлых бросков и не любит ни одну из сторон. Когда исходы равноправны, шанс события считается честным делением — и это уже не угадайка, а арифметика. Слово «равновозможны» здесь не пустое: если кубик утяжелён с одной стороны, схема ломается, и честная дробь m/n уже не считается.
Опыт, исходы и события
Разберём детали на примерах. У монеты два исхода: орёл и решка. У кубика — шесть граней. У волчка с восемью одинаковыми секторами — восемь. Исходов всегда конечное число, и перечислить их можно заранее, до опыта: это вся «колода» вариантов, из которой случайность делает выбор. Событие — любое подмножество этой колоды: «орёл» — один исход, «чётное число» — сразу три, «число меньше семи» — все шесть, а «семёрка» — ни одного. Заметь: событие не обязано случиться — оно лишь объявляет, какие исходы будут его засчитывать.
- монета: исходы орёл и решка, всего 2
- кубик: шесть граней, всего 6 исходов
- волчок с 8 равными секторами: 8 исходов
- жетон из мешка с 20 разными номерами: 20 исходов
- две монеты подряд: 4 исхода — орёл-орёл, орёл-решка, решка-орёл, решка-решка
Среди всех исходов выделяют благоприятные — те, при которых событие происходит. Для «чётного числа» на кубике благоприятны 2, 4 и 6 — три исхода из шести. Для «решки» благоприятен один исход из двух. Паспорт события — ровно два числа: сколько исходов всего и сколько из них подходят. Дальше остаётся одно деление.
| Событие | Все исходы | Благоприятные | Вероятность |
|---|---|---|---|
| на кубике выпадет чётное число | 6 | 3 (это 2, 4, 6) | 3/6 = 1/2 |
| на кубике выпадет число больше 4 | 6 | 2 (это 5 и 6) | 2/6 = 1/3 |
| монета упадёт решкой вверх | 2 | 1 (решка) | 1/2 |
| из 20 билетов попадётся выигрышный | 20 | 5 | 5/20 = 1/4 |
| стрелка волчка укажет на зелёный сектор (их 2 из 8) | 8 | 2 | 2/8 = 1/4 |
Формула: вероятность равна m/n
Если опыт имеет n равновозможных исходов и событию A благоприятствуют m из них, то вероятность события — доля m/n. Слово «доля» здесь ключевое: вероятность — часть целого, как три куска из восьми в пицце. Её записывают дробью , десятичной дробью 0,375 или процентами — 37,5%. Все три записи говорят одно: из каждых восьми бросков примерно три придутся на это событие.
Из формулы сразу видны границы. Если благоприятных исходов нет, то m = 0 и вероятность равна нулю — событие невозможное, как «кубик покажет восемь». Если благоприятны все исходы, m = n и вероятность равна единице — событие достоверное, как «кубик покажет число от 1 до 6». Всё остальное живёт между нулём и единицей, и чем ближе дробь к 1, тем выше шанс. Проверяй каждый ответ этим фильтром: полученное число обязано лежать в пределах от нуля до единицы, иначе где-то потерялся исход или один и тот же посчитан дважды.
Противоположное событие
У каждого события есть напарник — противоположное событие «не A»: не выпала шестёрка, фломастер оказался сухим, автобус не подошёл. Эти два события делят все исходы между собой без остатка: либо шестёрка, либо не шестёрка, третьего не бывает. Поэтому их вероятности в сумме дают единицу, и недостающую долю проще получить вычитанием, чем пересчётом.
Примеры считаются за секунду. Вероятность шестёрки 1/6, значит шанс «не шестёрка» — 5/6. Из 20 билетов 5 выигрышных: шанс выигрыша 1/4, а пустого билета — 3/4. Приём вычитания выручает, когда благоприятных исходов много: вместо пересчёта девяти подходящих граней из десяти честнее взять 1 − 1/10. Этот приём — мостик к следующему уроку: сегодня вычитаем из единицы, а дальше тот же шаг будет работать внутри деревьев.
Два кубика: 36 равновозможных пар
Теперь опыт посложнее: бросают два кубика — синий и красный, чтобы не перепутать. Исход — это пара чисел: что выпало на синем и что на красном. У синего 6 вариантов, у красного тоже 6, а пар будет 6 · 6 = 36, и все они равновозможны. Пары удобно раскладывать в таблицу: строки — грани синего кубика, столбцы — грани красного, в клетке стоит сумма очков. Клеток ровно 36, и ни одна не имеет преимущества — иначе классическая формула не сработала бы.
| + | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
По таблице события читаются как клетки. Сумма 7 сидит на шести клетках диагонали: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1 — вероятность 6/36 = 1/6. А вот сумма 12 живёт в единственной клетке 6+6, её шанс — 1/36. Чем «серединнее» сумма, тем длиннее её диагональ в таблице, поэтому семёрки выпадают заметно чаще двенадцаток и двоек. По таблице удобно проверять любые догадки: хочешь знать шанс суммы больше девяти — пересчитай клетки с 10, 11 и 12, их шесть.
Какой процент всех 36 пар кубиков даёт сумму 7? Выдвини оценку и проверь.
- Опыт: два кубика. Событие: сумма очков окажется чётной.
- Чётная сумма получается в двух случаях: чётное плюс чётное или нечётное плюс нечётное.
- Считаю клетки таблицы: у каждого чётного первого кубика 3 чётных вторых — это 3 · 3 = 9 клеток; у каждого нечётного первого тоже 9 клеток.
- Складываю подходящие клетки.
- Всего исходов 36, благоприятных 18: вероятность 18/36 = 1/2 — ровно половина.
Нажми на элемент, затем на категорию. Нажми на разложенный элемент — вернётся в пул.
- Опыт#
- действие со случайным результатом: бросок кубика, вытягивание билета
- Исход#
- один результат опыта; у кубика их шесть, у монеты два
- Событие#
- утверждение об исходе: «выпадет чётное число»
- Благоприятные исходы#
- те исходы, при которых событие происходит: для «чётного» это 2, 4 и 6
- Противоположное событие#
- событие «не A»; его вероятность равна 1 − P(A)
- Достоверное и невозможное#
- события с вероятностями 1 и 0: «кубик покажет меньше семи» и «кубик покажет восемь»
Дробь m/n — первый и главный инструмент всего курса. На неё опираются подсчёт шансов в играх, оценка рисков и задачи экзаменов. Дальше опыты станут двухшаговыми: монета, а потом кубик; шар из мешка, а потом ещё один — для них понадобятся деревья, и это тема следующего урока. А пока прогони тренажёр: он подставляет одни и те же события в разные числа, и деление m/n должно начать выполняться на автомате.
Проверь себя
Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»
1 В коробке 3 красных, 6 синих и 1 зелёный шар — все на ощупь одинаковые. Какова вероятность вытащить синий шар?
2 Какие из значений могут быть вероятностью события?
3 Вероятность того, что новый фломастер пишет, равна 0,8. Найди вероятность того, что он сухой. Ответ запиши десятичной дробью.
4 Сумма вероятностей события и противоположного ему события равна 1.
5 Расставь события по возрастанию вероятности.
6 Соедини утверждение с его значением.
Нажми на элемент слева, затем на его пару справа. Повторное нажатие отменяет связь.
7 Разложи события по типам.
Разложи элементы по категориям: нажми на элемент, потом на категорию.
Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.
Частые вопросы
Почему вероятность не бывает больше единицы?
Вероятность — это доля благоприятных исходов среди всех: часть не может быть больше целого. Единица означает, что событие достоверное — оно происходит при любом исходе.
Чем событие отличается от исхода?
Исход — один результат опыта, например «выпала четвёрка». Событие — утверждение об исходах, например «выпадет чётное число», и ему соответствуют сразу несколько исходов.
Вероятность шестёрки 1/6 — значит, из шести бросков она выпадет ровно один раз?
Нет, это лишь средняя доля длинной серии: в шести конкретных бросках шестёрок может не быть вовсе, а может быть две. Дробь 1/6 говорит, что в среднем на каждые шесть бросков придётся около одной шестёрки.
Зачем нужна формула «единица минус вероятность»?
Она экономит пересчёт, когда благоприятных исходов много: вместо суммирования девяти граней кубика берёшь 1 − 1/6. Вычитание надёжнее и быстрее, а сумма с исходной вероятностью всегда равна единице.