Деревья вероятностей: сложные опыты по веточкам
Сложный опыт рисуем как дерево: ветки шагов, произведение вероятностей вдоль пути, сложение путей и шары без возвращения.
Финал турнира по настольной игре: кто ходит первым, решает монета, а затем каждый ход открывается броском кубика. Один шаг случайности тут считается легко, но опыт идёт двумя шагами, и пальцев для перебора уже не хватает. Выручает картинка: рисуем точку старта, из неё — ветки всех вариантов первого шага, из конца каждой ветки — ветки второго. Получается дерево, по которому любой вопрос «какова вероятность?» решается умножением и сложением.
Дерево опыта — родственник таблицы исходов из прошлого урока: та же идея «перечисли всё», только развёрнутая вглубь. Листья дерева — исходы опыта, ветки — варианты каждого шага. Когда на ветках появляются вероятности, два простых правила пробивают дорогу через любой сложный опыт — от пары монет до мешка с шарами, из которого тянут не возвращая.
Рисуем дерево опыта
Строится дерево слева направо. Корень — старт опыта. Из корня выходят ветки первого шага: у монеты две, у кубика шесть. Из конца каждой ветки растут ветки следующего шага. Последние точки, из которых уже ничего не растёт, — листья: каждый лист — один исход опыта. Число листьев пересчитывается умножением: 2 ветки монеты на 6 граней кубика дают 12 листьев, и ни один исход не потеряется. Ветви удобно подписывать прямо на рисунке: у монеты — «орёл» и «решка», у кубика — цифры от 1 до 6. Пока дерево на бумаге, память отдыхает: считай глазами, водя пальцем по путям.
- две монеты: 2 · 2 = 4 исхода — орёл-орёл, орёл-решка, решка-орёл, решка-решка
- монета и кубик: 2 · 6 = 12 исходов
- кубик и волчок с 4 секторами: 6 · 4 = 24 исхода
- три броска монеты: 2 · 2 · 2 = 8 исходов
| Опыт | Ветки первого шага | Ветки второго | Листьев |
|---|---|---|---|
| две монеты | 2 | 2 | 4 |
| монета и кубик | 2 | 6 | 12 |
| кубик и волчок на 4 сектора | 6 | 4 | 24 |
| два кубика | 6 | 6 | 36 |
Вероятность пути: перемножаем ветки
Выбери любой путь от корня до листа — например, «орёл на монете и шестёрка на кубике». Вероятность пути равна произведению вероятностей его веток: 1/2 · 1/6 = 1/12. Это работает потому, что шаги независимы: монета не помнит, что показал кубик, и её шансы не меняются. Проверка по листьям даёт то же самое: лист «орёл и 6» — один из двенадцати равноправных. Если произведения веток и листовый подсчёт вдруг разошлись — дерево нарисовано с ошибкой, и это хороший повод её найти.
Независимые события — те, где первый шаг не влияет на второй: броски разных предметов, вытягивание карты с возвращением в колоду. Но если шар из мешка не возвращают, второй тянется из изменившегося мешка — события зависимые, и вероятности на ветках второго шага пересчитываются заново. Дерево честно показывает разницу: под каждым узлом пишешь те доли, которые верны именно в этом узле. Простой ориентир: увидел в задаче слова «без возвращения» или «первый шаг изменил условия» — готовься пересчитывать ветки.
- Опыт: монета и кубик. Событие: орёл на монете И чётное число на кубике.
- Строю путь: ветка «орёл» с вероятностью 1/2, затем ветка «чётное» с вероятностью 3/6 = 1/2.
- Перемножаю вероятности веток.
- Проверяю по листьям: благоприятных листов 3 из 12 — тоже 1/4. Два способа сошлись.
Ветки с разными вероятностями
Настоящая сила дерева видна, когда шаги зависимы. Мешок: 2 белых и 1 чёрный шар, тянем два раза без возвращения. Первый шаг: белый с вероятностью 2/3, чёрный с 1/3. Если первым вышел белый, в мешке остались белый и чёрный — второй шаг идёт с шансами 1/2 и 1/2. Если первым вышел чёрный, остались два белых, и второй шаг белый с вероятностью 1. Пути получились такие: белый-белый 2/3 · 1/2 = 1/3, белый-чёрный 2/3 · 1/2 = 1/3, чёрный-белый 1/3 · 1 = 1/3. Три листа — по 1/3, и сумма сходится. Обрати внимание: пути «чёрный-чёрный» у дерева нет — второго чёрного шара в мешке не осталось, и такая ветка честно обрывается.
Два контрольных правила проверяют любое дерево. Из каждого узла сумма вероятностей выходящих веток равна 1 — иначе один вариант потерян или посчитан дважды. Сумма вероятностей всех листьев тоже равна 1 — весь опыт обязан куда-то привести. Если обе проверки сходятся, дереву можно верить, и ответ по нему считается уверенно. Проверка листьев особенно полезна без возвращения: там легко потерять вариант, когда состав мешка уже изменился.
- Дерево опыта#
- схема опыта: точка старта, ветки-варианты шагов, листья-исходы
- Ветка#
- один вариант одного шага с его вероятностью
- Путь#
- цепочка веток от старта до листа; его вероятность — произведение веток
- Узел#
- точка, из которой растут ветки следующего шага
- Независимые события#
- второй шаг не зависит от первого: вероятности на ветках не пересчитываются
- Зависимые события#
- первый шаг меняет условия второго: шансы на ветках пересчитывают
Из узла дерева выходят , их вероятности в сумме дают . Вероятность пути равна вероятностей веток. Союзу «и» соответствует , союзу «или» — .
Банк слов
Сложные события: хотя бы один
Вопрос «хотя бы один» пугает длинным списком путей, но на дереве решается через противоположное событие. Бросили две монеты, ждём хотя бы одного орла. Единственный путь без орлов — «решка и решка» с вероятностью 1/2 · 1/2 = 1/4. Значит, шанс хотя бы одного орла — 1 − 1/4 = 3/4: три листа из четырёх, и дерево подтверждает это без всякого пересчёта. Тот же приём работает для «хотя бы одна шестёрка на двух кубиках» и для «хотя бы один белый шар»: ищи единственный неудобный путь и вычитай его из единицы.
- Опыт: из мешка с 3 белыми и 2 синими шарами тянем два шара без возвращения. Событие: оба шара белые.
- Ветви первого шага: белый 3/5, синий 2/5.
- После белого осталось 2 белых из 4 шаров — ветка 2/4. После синего — 3 белых из 4 — ветка 3/4.
- Путь «белый и белый» перемножаю.
- Событию «оба белых» соответствует единственный путь, ответ 3/10.
| Путь | Ветки | Вероятность пути |
|---|---|---|
| белый, белый | 3/5 и 2/4 | 6/20 = 3/10 |
| белый, синий | 3/5 и 2/4 | 6/20 = 3/10 |
| синий, белый | 2/5 и 3/4 | 6/20 = 3/10 |
| синий, синий | 2/5 и 1/4 | 2/20 = 1/10 |
| проверка: сумма всех листьев | 20/20 = 1 |
Дерево вероятностей — главный инструмент девятого класса, где появится условная вероятность, и любимая картинка экзаменационных задач про шары и карандаши. Умей нарисовать его для двух шагов и пересчитать ветки после слов «без возвращения» — половина сложных задач курса разваливается на два умножения и одно вычитание. Прогони тренажёр, а потом проверь себя на настоящих монетах: десять пар бросков, и листья дерева оживут прямо на столе.
Проверь себя
Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»
1 Монету бросили, а затем бросили кубик. Сколько листьев у дерева этого опыта?
2 Сумма вероятностей всех веток, выходящих из одного узла дерева, равна 1.
3 Монету бросают дважды. Найди вероятность события «оба раза выпадет орёл». Ответ запиши десятичной дробью.
4 Какие пары событий независимы?
5 Расставь шаги построения дерева опыта.
6 Соедини ситуацию с её вероятностью.
Нажми на элемент слева, затем на его пару справа. Повторное нажатие отменяет связь.
7 Разложи опыты по типам шагов.
Разложи элементы по категориям: нажми на элемент, потом на категорию.
Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.
Частые вопросы
Чем дерево вероятностей лучше таблицы исходов?
Таблица удобна для двух одинаковых шагов, а дерево рисуется для любого опыта: шаги могут быть разными и зависимыми. К тому же на дереве сразу видно, какие пути дают нужное событие.
Почему вдоль пути вероятности умножают, а между путями складывают?
Путь — это последовательность «и»: орёл И шестёрка, поэтому доли перемножаются. Разные пути — это «или»: событие происходит на одном из них, и несовместные шансы складываются.
Что делать, если шар не возвращают в мешок?
Пересчитать ветки второго шага: в мешке стало на один шар меньше, и доли изменились. На дереве это видно автоматически — под каждым узлом пишутся вероятности именно этого узла.
Как проверить, что дерево построено правильно?
Двумя суммами: из каждого узла вероятности выходящих веток дают 1, а все листья дерева в сумме тоже дают 1. Если хоть одна сумма расходится — потерян или продублирован вариант.