Размещения и сочетания: где порядок важен
Староста с заместителем или просто пара дежурных: учимся замечать, где порядок важен, считаем размещения по формуле A из n по k и не путаем их с сочетаниями.
Классу из десяти человек нужны староста и заместитель. Петя насчитал 10 · 9 = 90 вариантов, Маша возразила: «Просто пара — всего 45». Оба получили разные числа для похожих задач, и оба правы: разница в том, важен ли порядок. Этот вопрос решает половину комбинаторных задач.
Размещения: когда порядок важен
Размещение из n по k — упорядоченный выбор: отобрали k человек и распределили по ролям. На малых числах формула — просто лесенка умножений. Староста и заместитель из десяти: на первую должность 10 кандидатов, на вторую — 9, итого 10 · 9 = 90. Кодовый замок, где код — две разные цифры: 12 и 21 открывают разные замки, поэтому кодов 10 · 9 = 90. Пьедестал из восьми бегунов: золото — любой из восьми, серебро — из семи оставшихся, бронза — из шести: 8 · 7 · 6 = 336.
Сочетания: порядок не важен
Сочетание — выбор, где важен состав, а не список по ролям (тема сочетаний разобрана отдельно). Пара дежурных из десяти: «Аня и Боря» — та же пара, что «Боря и Аня». Упорядоченных пар 90, но каждая настоящая пара посчитана дважды, поэтому дежурств 90 : 2 = 45. Та же логика в лотерее: билет «угадай 6 из 45» выигрывает за набор чисел, порядок выпадения не важен.
| Ситуация | Порядок важен? | Считаем | Ответ |
|---|---|---|---|
| староста и заместитель из 10 | да, должности разные | 10 · 9 | 90 |
| пара дежурных из 10 | нет | 10 · 9 : 2 | 45 |
| пьедестал из 8 бегунов | да, медали разные | 8 · 7 · 6 | 336 |
| угадать 6 чисел из 45 | нет | сочетание из 45 по 6 | 8 145 060 |
- Размещение#
- упорядоченный выбор, порядок важен
- A из n по k#
- n! : (n − k)! — лесенка из k множителей
- Сочетание#
- выбор без учёта порядка
- Факториал n!#
- произведение всех чисел от 1 до n
Проверь себя
Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»
1 В классе 9 учеников. Сколькими способами можно выбрать старосту и заместителя?
2 Восемь бегунов разыгрывают золото, серебро и бронзу. Сколько существует вариантов пьедестала?
3 Выбор пары дежурных из десяти человек — это размещение, потому что важно, кто в паре первый.
4 В каких задачах порядок выбора важен?
5 Кодовый замок: код — две цифры подряд, первая выбирается из 4 возможных, вторая — из 3. Сколько разных кодов?
6 Расставь задачи по возрастанию числа вариантов.
7 Соедини задачу с методом решения.
Нажми на элемент слева, затем на его пару справа. Повторное нажатие отменяет связь.
Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.
Частые вопросы
Чем размещение отличается от сочетания?
Размещение — упорядоченный выбор: «Аня — староста, Боря — зам» и «Боря — староста, Аня — зам» различаются. Сочетание — просто набор, порядок не важен. Поэтому размещений всегда больше.
Почему выбор старосты и заместителя — это размещение?
Должности разные, поэтому важно, кто какую получил: поменяв двух людей местами, получаем другое распределение ролей. Подсчёт для двух должностей: n · (n − 1).
Сколько вариантов пьедестала для восьми бегунов?
Размещение из 8 по 3: 8 · 7 · 6 = 336. На золото претендуют восемь человек, на серебро — семь оставшихся, на бронзу — шесть.
Почему в лотерее «угадай 6 из 45» порядок не важен?
Победа засчитывается за набор из шести чисел независимо от порядка их выпадения. Поэтому это сочетание, а не размещение — иначе ответ был бы больше в 720 раз.