Размещения и сочетания: где порядок важен — тренажёр
Тренировка по теме «Размещения и сочетания: где порядок важен»: задачи с меняющимися числами, мгновенная проверка, подсказка и подробный разбор к каждой. Ниже — шпаргалка по теме, разобранные примеры и ответы на частые вопросы.
Тренировка
0/81 В классе 6 учеников. Сколькими способами можно выбрать старосту и заместителя?
Выбери ответ и нажми «Проверить». Подсказка рядом — пользоваться не стыдно.
Разбор примеров из тренажёра
16 задач из пула этого тренажёра с полной логикой решения: условие, подсказка, как решать и ответ. В самом тренажёре числа в каждой задаче обновляются от раунда к раунду — принцип решения остаётся тем же.
Пример 1. В классе 8 учеников. Сколькими способами можно выбрать старосту и заместителя?
Подсказка. На старосту — 8 вариантов, на заместителя — на один меньше.
Как решать. Должности разные, порядок важен: 8 кандидатов на старосту и 8 − 1 на заместителя, всего 8 · (8 − 1).
Ответ: 56
Пример 2. В финале бега участвуют 4 спортсменов. Сколько вариантов пьедестала (золото, серебро, бронза)?
Подсказка. Выбирай обладателей медалей по очереди, каждый раз кандидатов на одного меньше.
Как решать. Размещение из 4 по 3: 4 · (4 − 1) · (4 − 2). Порядок медалей важен.
Ответ: 24
Пример 3. Для смешанного турнира нужно составить пары «девочка и мальчик». В классе 7 девочек и 6 мальчиков. Сколько разных пар можно составить?
Подсказка. Каждой девочке — 6 вариантов партнёра.
Как решать. Каждая из 7 девочек может встать в пару с любым из 6 мальчиков: 7 · 6 пар. Порядок внутри пары новых пар не создаёт.
Ответ: 42
Пример 4. Из 10 учеников выбирают двоих дежурных без назначения старшего. Сколько разных пар дежурных получится?
Подсказка. Сначала посчитай упорядоченные пары, потом раздели на 2.
Как решать. Порядок не важен, это сочетание. Упорядоченных пар 10 · (10 − 1), но каждая настоящая пара посчитана дважды: делим на 2.
Ответ: 45
Пример 5. В классе 4 учеников. Сколькими способами можно выбрать старосту и заместителя?
Подсказка. На старосту — 4 вариантов, на заместителя — на один меньше.
Как решать. Должности разные, порядок важен: 4 кандидатов на старосту и 4 − 1 на заместителя, всего 4 · (4 − 1).
Ответ: 12
Пример 6. В финале бега участвуют 9 спортсменов. Сколько вариантов пьедестала (золото, серебро, бронза)?
Подсказка. Выбирай обладателей медалей по очереди, каждый раз кандидатов на одного меньше.
Как решать. Размещение из 9 по 3: 9 · (9 − 1) · (9 − 2). Порядок медалей важен.
Ответ: 504
Пример 7. Для смешанного турнира нужно составить пары «девочка и мальчик». В классе 4 девочек и 4 мальчиков. Сколько разных пар можно составить?
Подсказка. Каждой девочке — 4 вариантов партнёра.
Как решать. Каждая из 4 девочек может встать в пару с любым из 4 мальчиков: 4 · 4 пар. Порядок внутри пары новых пар не создаёт.
Ответ: 16
Пример 8. Из 7 учеников выбирают двоих дежурных без назначения старшего. Сколько разных пар дежурных получится?
Подсказка. Сначала посчитай упорядоченные пары, потом раздели на 2.
Как решать. Порядок не важен, это сочетание. Упорядоченных пар 7 · (7 − 1), но каждая настоящая пара посчитана дважды: делим на 2.
Ответ: 21
Пример 9. В классе 7 учеников. Сколькими способами можно выбрать старосту и заместителя?
Подсказка. На старосту — 7 вариантов, на заместителя — на один меньше.
Как решать. Должности разные, порядок важен: 7 кандидатов на старосту и 7 − 1 на заместителя, всего 7 · (7 − 1).
Ответ: 42
Пример 10. В финале бега участвуют 7 спортсменов. Сколько вариантов пьедестала (золото, серебро, бронза)?
Подсказка. Выбирай обладателей медалей по очереди, каждый раз кандидатов на одного меньше.
Как решать. Размещение из 7 по 3: 7 · (7 − 1) · (7 − 2). Порядок медалей важен.
Ответ: 210
Пример 11. Из 6 учеников выбирают двоих дежурных без назначения старшего. Сколько разных пар дежурных получится?
Подсказка. Сначала посчитай упорядоченные пары, потом раздели на 2.
Как решать. Порядок не важен, это сочетание. Упорядоченных пар 6 · (6 − 1), но каждая настоящая пара посчитана дважды: делим на 2.
Ответ: 15
Пример 12. В классе 10 учеников. Сколькими способами можно выбрать старосту и заместителя?
Подсказка. На старосту — 10 вариантов, на заместителя — на один меньше.
Как решать. Должности разные, порядок важен: 10 кандидатов на старосту и 10 − 1 на заместителя, всего 10 · (10 − 1).
Ответ: 90
Пример 13. Для смешанного турнира нужно составить пары «девочка и мальчик». В классе 8 девочек и 9 мальчиков. Сколько разных пар можно составить?
Подсказка. Каждой девочке — 9 вариантов партнёра.
Как решать. Каждая из 8 девочек может встать в пару с любым из 9 мальчиков: 8 · 9 пар. Порядок внутри пары новых пар не создаёт.
Ответ: 72
Пример 14. Из 3 учеников выбирают двоих дежурных без назначения старшего. Сколько разных пар дежурных получится?
Подсказка. Сначала посчитай упорядоченные пары, потом раздели на 2.
Как решать. Порядок не важен, это сочетание. Упорядоченных пар 3 · (3 − 1), но каждая настоящая пара посчитана дважды: делим на 2.
Ответ: 3
Пример 15. В финале бега участвуют 10 спортсменов. Сколько вариантов пьедестала (золото, серебро, бронза)?
Подсказка. Выбирай обладателей медалей по очереди, каждый раз кандидатов на одного меньше.
Как решать. Размещение из 10 по 3: 10 · (10 − 1) · (10 − 2). Порядок медалей важен.
Ответ: 720
Пример 16. Для смешанного турнира нужно составить пары «девочка и мальчик». В классе 3 девочек и 8 мальчиков. Сколько разных пар можно составить?
Подсказка. Каждой девочке — 8 вариантов партнёра.
Как решать. Каждая из 3 девочек может встать в пару с любым из 8 мальчиков: 3 · 8 пар. Порядок внутри пары новых пар не создаёт.
Ответ: 24
Вопросы для повторения темы
Контрольные вопросы по «Размещения и сочетания: где порядок важен» с верными ответами и пояснениями — проверь себя до запуска тренажёра.
Вопрос 1. В классе 9 учеников. Сколькими способами можно выбрать старосту и заместителя?
Ответ: 72
Пояснение. Должности разные, порядок важен: 9 · 8 = 72.
Вопрос 2. Восемь бегунов разыгрывают золото, серебро и бронзу. Сколько существует вариантов пьедестала?
Ответ: 336
Пояснение. 8 · 7 · 6 = 336: на золото восемь кандидатов, на серебро семь, на бронзу шесть.
Вопрос 3. Выбор пары дежурных из десяти человек — это размещение, потому что важно, кто в паре первый.
Ответ: Неверно
Пояснение. У дежурных нет старшего и младшего: пары «Аня и Боря» и «Боря и Аня» совпадают. Это сочетание, их 45.
Вопрос 4. В каких задачах порядок выбора важен?
Ответ: выбрать капитана и вратаря команды; составить код из двух разных цифр
Пояснение. Капитан и вратарь — разные роли, код чувствителен к порядку цифр. Дежурные и песни — просто наборы.
Вопрос 5. Кодовый замок: код — две цифры подряд, первая выбирается из 4 возможных, вторая — из 3. Сколько разных кодов?
Ответ: 12
Пояснение. 4 · 3 = 12: на каждую первую цифру приходится три варианта второй.
Вопрос 6. Расставь задачи по возрастанию числа вариантов.
Ответ: пара дежурных из десяти учеников → староста и заместитель из десяти учеников → пьедестал из восьми бегунов
Пояснение. Числа вариантов: 45, 90, 336.
Вопрос 7. Соедини задачу с методом решения.
Пояснение. Где роли или позиции различаются — порядок важен, это размещения. Где важен только набор — сочетания.