Сочетания: выбираем команды и наборы — тренажёр

Пример 1. Из 9 учеников класса выбирают двоих дежурных. Сколько существует пар дежурных?

Подсказка. Умножь два убывающих множителя и подели пополам.

Как решать. Порядок не важен — сочетания: C(9,2) = 9·(9−1):2. Каждая пара посчитана дважды, поэтому делим на 2.

Ответ: 36

Пример 2. В библиотеке 4 новых книг. Сколькими способами можно выбрать из них три, чтобы взять на каникулы?

Подсказка. Три множителя в числителе, шесть в знаменателе.

Как решать. Набор из трёх книг без порядка: C(4,3) = 4·(4−1)·(4−2):6.

Ответ: 4

Пример 3. В волейбольном турнире 8 команд, каждая играет с каждой ровно один раз. Организаторы уже провели 7 матчей. Сколько матчей осталось провести?

Подсказка. Сначала посчитай все пары команд, потом вычти сыгранные.

Как решать. Всего матчей в турнире — C(8,2) = 8·(8−1):2; вычитаем 7 уже сыгранных.

Ответ: 21

Пример 4. Из 8 финалистов соревнования выбирают чемпиона, а затем вице-чемпиона. Сколько вариантов пары «чемпион — вице-чемпион»?

Подсказка. Здесь делить на 2 нельзя: чемпион и вице-чемпион — разные роли.

Как решать. Роли различаются, порядок важен — размещения: 8·(8−1) = {a*(a-1)}.

Ответ: 56

Пример 5. Из 5 учеников класса выбирают двоих дежурных. Сколько существует пар дежурных?

Подсказка. Умножь два убывающих множителя и подели пополам.

Как решать. Порядок не важен — сочетания: C(5,2) = 5·(5−1):2. Каждая пара посчитана дважды, поэтому делим на 2.

Ответ: 10

Пример 6. В библиотеке 9 новых книг. Сколькими способами можно выбрать из них три, чтобы взять на каникулы?

Подсказка. Три множителя в числителе, шесть в знаменателе.

Как решать. Набор из трёх книг без порядка: C(9,3) = 9·(9−1)·(9−2):6.

Ответ: 84

Пример 7. В волейбольном турнире 7 команд, каждая играет с каждой ровно один раз. Организаторы уже провели 4 матчей. Сколько матчей осталось провести?

Подсказка. Сначала посчитай все пары команд, потом вычти сыгранные.

Как решать. Всего матчей в турнире — C(7,2) = 7·(7−1):2; вычитаем 4 уже сыгранных.

Ответ: 17

Пример 8. Из 6 финалистов соревнования выбирают чемпиона, а затем вице-чемпиона. Сколько вариантов пары «чемпион — вице-чемпион»?

Подсказка. Здесь делить на 2 нельзя: чемпион и вице-чемпион — разные роли.

Как решать. Роли различаются, порядок важен — размещения: 6·(6−1) = {a*(a-1)}.

Ответ: 30

Пример 9. Из 8 учеников класса выбирают двоих дежурных. Сколько существует пар дежурных?

Подсказка. Умножь два убывающих множителя и подели пополам.

Как решать. Порядок не важен — сочетания: C(8,2) = 8·(8−1):2. Каждая пара посчитана дважды, поэтому делим на 2.

Ответ: 28

Пример 10. В библиотеке 7 новых книг. Сколькими способами можно выбрать из них три, чтобы взять на каникулы?

Подсказка. Три множителя в числителе, шесть в знаменателе.

Как решать. Набор из трёх книг без порядка: C(7,3) = 7·(7−1)·(7−2):6.

Ответ: 35

Пример 11. Из 10 учеников класса выбирают двоих дежурных. Сколько существует пар дежурных?

Подсказка. Умножь два убывающих множителя и подели пополам.

Как решать. Порядок не важен — сочетания: C(10,2) = 10·(10−1):2. Каждая пара посчитана дважды, поэтому делим на 2.

Ответ: 45

Пример 12. В волейбольном турнире 9 команд, каждая играет с каждой ровно один раз. Организаторы уже провели 12 матчей. Сколько матчей осталось провести?

Подсказка. Сначала посчитай все пары команд, потом вычти сыгранные.

Как решать. Всего матчей в турнире — C(9,2) = 9·(9−1):2; вычитаем 12 уже сыгранных.

Ответ: 24

Пример 13. Из 4 финалистов соревнования выбирают чемпиона, а затем вице-чемпиона. Сколько вариантов пары «чемпион — вице-чемпион»?

Подсказка. Здесь делить на 2 нельзя: чемпион и вице-чемпион — разные роли.

Как решать. Роли различаются, порядок важен — размещения: 4·(4−1) = {a*(a-1)}.

Ответ: 12

Пример 14. В библиотеке 10 новых книг. Сколькими способами можно выбрать из них три, чтобы взять на каникулы?

Подсказка. Три множителя в числителе, шесть в знаменателе.

Как решать. Набор из трёх книг без порядка: C(10,3) = 10·(10−1)·(10−2):6.

Ответ: 120

Пример 15. В волейбольном турнире 6 команд, каждая играет с каждой ровно один раз. Организаторы уже провели 11 матчей. Сколько матчей осталось провести?

Подсказка. Сначала посчитай все пары команд, потом вычти сыгранные.

Как решать. Всего матчей в турнире — C(6,2) = 6·(6−1):2; вычитаем 11 уже сыгранных.

Ответ: 4

Вопрос 1. Сколько существует пар дежурных из шести учеников?

Ответ: 15

Пояснение. Порядок в паре не важен, считаем сочетания: C(6,2) = 6 · 5 : 2 = 15.

Вопрос 2. В каких задачах порядок выбора НЕ важен?

Ответ: выбрать двоих дежурных из класса; выбрать четыре песни в плейлист

Пояснение. Дежурные и плейлист — наборы без ролей, порядок не важен. Медали и посты капитана с заместителем — разные роли, порядок важен.

Вопрос 3. Вычисли C(6,3).

Ответ: 20

Пояснение. C(6,3) = (6 · 5 · 4) : 3! = 120 : 6 = 20.

Вопрос 4. Число сочетаний C(5,3) равно числу сочетаний C(5,2).

Ответ: Верно

Пояснение. Оба равны 10: выбирая трёх, мы одновременно решаем, каких двоих не взять, поэтому C(n,k) = C(n, n−k).

Вопрос 5. Расставь числа по возрастанию.

Ответ: C(4,2) → C(5,2) → C(6,2) → C(6,3)

Пояснение. Значения: C(4,2) = 6, C(5,2) = 10, C(6,2) = 15, C(6,3) = 20 — именно в таком порядке они и выстроились.

Вопрос 6. Соедини задачу с формулой и ответом.

Пояснение. Без порядка — сочетания, с порядком — размещения; A всегда больше C ровно в k! раз.

Вопрос 7. Разложи задачи по типам.

Пояснение. Наборы без ролей — сочетания; назначение на различимые места — размещения.