Испытания Бернулли: серия одинаковых опытов — тренажёр

Пример 1. Монету бросили 7 раз. Сколько всего последовательностей орлов и решек может получиться?

Подсказка. На каждом шаге два выбора.

Как решать. Каждый бросок удваивает число цепочек: 2 в степени 7 равновозможных серий.

Ответ: 128

Пример 2. Монету бросили 6 раз, и орёл выпал ровно два раза. Сколько существует таких серий результатов?

Подсказка. Расставляй два орла по местам — это сочетания.

Как решать. Два орла занимают два места из 6: C(6,2) = 6·(6−1):2.

Ответ: 15

Пример 3. В серии из 8 бросков монеты орёл выпал 2 раз. Сколько раз выпала решка?

Подсказка. Орлы плюс решки дают все броски.

Как решать. Каждый бросок — либо орёл, либо решка: 8 − 2.

Ответ: 6

Пример 4. В серии бросков монеты орлов выпало 5, а решек — на 1 больше, чем орлов. Сколько всего было бросков?

Подсказка. Сначала найди число решек, потом сложи с орлами.

Как решать. Решек было 5 + 1, всего бросков 5 + 5 + 1 = {2*m+d}.

Ответ: 11

Пример 5. Монету бросили 4 раз. Сколько всего последовательностей орлов и решек может получиться?

Подсказка. На каждом шаге два выбора.

Как решать. Каждый бросок удваивает число цепочек: 2 в степени 4 равновозможных серий.

Ответ: 16

Пример 6. Монету бросили 11 раз, и орёл выпал ровно два раза. Сколько существует таких серий результатов?

Подсказка. Расставляй два орла по местам — это сочетания.

Как решать. Два орла занимают два места из 11: C(11,2) = 11·(11−1):2.

Ответ: 55

Пример 7. В серии из 6 бросков монеты орёл выпал 1 раз. Сколько раз выпала решка?

Подсказка. Орлы плюс решки дают все броски.

Как решать. Каждый бросок — либо орёл, либо решка: 6 − 1.

Ответ: 5

Пример 8. В серии бросков монеты орлов выпало 4, а решек — на 1 больше, чем орлов. Сколько всего было бросков?

Подсказка. Сначала найди число решек, потом сложи с орлами.

Как решать. Решек было 4 + 1, всего бросков 4 + 4 + 1 = {2*m+d}.

Ответ: 9

Пример 9. Монету бросили 6 раз. Сколько всего последовательностей орлов и решек может получиться?

Подсказка. На каждом шаге два выбора.

Как решать. Каждый бросок удваивает число цепочек: 2 в степени 6 равновозможных серий.

Ответ: 64

Пример 10. Монету бросили 9 раз, и орёл выпал ровно два раза. Сколько существует таких серий результатов?

Подсказка. Расставляй два орла по местам — это сочетания.

Как решать. Два орла занимают два места из 9: C(9,2) = 9·(9−1):2.

Ответ: 36

Пример 11. В серии бросков монеты орлов выпало 4, а решек — на 4 больше, чем орлов. Сколько всего было бросков?

Подсказка. Сначала найди число решек, потом сложи с орлами.

Как решать. Решек было 4 + 4, всего бросков 4 + 4 + 4 = {2*m+d}.

Ответ: 12

Пример 12. Монету бросили 8 раз. Сколько всего последовательностей орлов и решек может получиться?

Подсказка. На каждом шаге два выбора.

Как решать. Каждый бросок удваивает число цепочек: 2 в степени 8 равновозможных серий.

Ответ: 256

Пример 13. В серии из 9 бросков монеты орёл выпал 3 раз. Сколько раз выпала решка?

Подсказка. Орлы плюс решки дают все броски.

Как решать. Каждый бросок — либо орёл, либо решка: 9 − 3.

Ответ: 6

Пример 14. В серии бросков монеты орлов выпало 3, а решек — на 4 больше, чем орлов. Сколько всего было бросков?

Подсказка. Сначала найди число решек, потом сложи с орлами.

Как решать. Решек было 3 + 4, всего бросков 3 + 3 + 4 = {2*m+d}.

Ответ: 10

Пример 15. Монету бросили 12 раз, и орёл выпал ровно два раза. Сколько существует таких серий результатов?

Подсказка. Расставляй два орла по местам — это сочетания.

Как решать. Два орла занимают два места из 12: C(12,2) = 12·(12−1):2.

Ответ: 66

Пример 16. В серии из 5 бросков монеты орёл выпал 3 раз. Сколько раз выпала решка?

Подсказка. Орлы плюс решки дают все броски.

Как решать. Каждый бросок — либо орёл, либо решка: 5 − 3.

Ответ: 2

Вопрос 1. Какова вероятность ровно одного орла при двух бросках монеты?

Ответ: $\frac{1}{2}$

Пояснение. P(1) = C(2,1) · (1/2)^2 = 2/4 = 1/2. Подходят две серии из четырёх: ОР и РО.

Вопрос 2. Какие опыты подходят под схему Бернулли?

Ответ: монету бросают 5 раз подряд; кубик бросают 4 раза, успех — шестёрка

Пояснение. У монеты и кубика испытания независимы и p постоянно. Карты и конфеты не возвращают, поэтому вероятность меняется от шага к шагу.

Вопрос 3. Четыре броска монеты дают 16 равновозможных серий. Сколько серий подходят под событие «ровно два орла»?

Ответ: 6

Пояснение. Число раскладок двух орлов по четырём местам — C(4,2) = 6.

Вопрос 4. В схеме Бернулли вероятность успеха меняется от опыта к опыту.

Ответ: Неверно

Пояснение. Наоборот: постоянство p — одно из трёх условий схемы. Если p меняется, формула Бернулли неприменима.

Вопрос 5. Расставь шаги решения задачи о вероятности двух орлов в четырёх бросках.

Ответ: найти число сочетаний C(4,2) → возвести вероятность успеха (1/2) в квадрат → возвести вероятность неудачи (1/2) в квадрат → перемножить три полученных числа

Пояснение. Порядок такой: сочетание, затем степени p и (1−p), затем произведение: 6 · 1/4 · 1/4 = 6/16.

Вопрос 6. Соедини опыт с вероятностью успеха.

Пояснение. Вероятность успеха — это доля успешных опытов по статистике или доля подходящих граней по устройству опыта.

Вопрос 7. Разложи опыты по корзинам.

Пояснение. Всё, что возвращает объект или использует новую монету/кубик, — схема Бернулли; всё, что забирает без возврата, — нет.