Разложение многочлена на множители — тренажёр

Пример 1. Реши уравнение x² − 6x = 0 и запиши его больший корень.

Подсказка. Разложи левую часть на множители, не дели на x.

Как решать. Выносим x: x(x − 6) = 0. Произведение равно нулю, когда ноль у множителя: x = 0 или x = 6. Больший корень 6.

Ответ: 6

Пример 2. Реши уравнение (x − 8)(x + 5) = 0 и запиши сумму его корней.

Подсказка. Каждый множитель приравняй к нулю отдельно.

Как решать. Корни уравнения: 8 и −5. Сумма корней равна 8 − 5 — вычти и получи ответ.

Ответ: 3

Пример 3. Запиши одним словом: разложение многочлена на множители превращает сумму в ...

Как решать. Разложение записывает многочлен как произведение двух и более множителей — этим оно и противоположно раскрытию скобок.

Ответ: произведение

Пример 4. Реши уравнение x² − 2x = 0 и запиши его больший корень.

Подсказка. Разложи левую часть на множители, не дели на x.

Как решать. Выносим x: x(x − 2) = 0. Произведение равно нулю, когда ноль у множителя: x = 0 или x = 2. Больший корень 2.

Ответ: 2

Пример 5. Реши уравнение (x − 14)(x + 6) = 0 и запиши сумму его корней.

Подсказка. Каждый множитель приравняй к нулю отдельно.

Как решать. Корни уравнения: 14 и −6. Сумма корней равна 14 − 6 — вычти и получи ответ.

Ответ: 8

Пример 6. Реши уравнение x² − 5x = 0 и запиши его больший корень.

Подсказка. Разложи левую часть на множители, не дели на x.

Как решать. Выносим x: x(x − 5) = 0. Произведение равно нулю, когда ноль у множителя: x = 0 или x = 5. Больший корень 5.

Ответ: 5

Пример 7. Реши уравнение (x − 11)(x + 3) = 0 и запиши сумму его корней.

Подсказка. Каждый множитель приравняй к нулю отдельно.

Как решать. Корни уравнения: 11 и −3. Сумма корней равна 11 − 3 — вычти и получи ответ.

Ответ: 8

Пример 8. Реши уравнение x² − 7x = 0 и запиши его больший корень.

Подсказка. Разложи левую часть на множители, не дели на x.

Как решать. Выносим x: x(x − 7) = 0. Произведение равно нулю, когда ноль у множителя: x = 0 или x = 7. Больший корень 7.

Ответ: 7

Пример 9. Реши уравнение (x − 15)(x + 5) = 0 и запиши сумму его корней.

Подсказка. Каждый множитель приравняй к нулю отдельно.

Как решать. Корни уравнения: 15 и −5. Сумма корней равна 15 − 5 — вычти и получи ответ.

Ответ: 10

Вопрос 1. После вынесения общего множителя 8x² + 12x записывается как...

Ответ: 4x(2x + 3)

Пояснение. Общий множитель 4x: 8x² + 12x = 4x · 2x + 4x · 3 = 4x(2x + 3). Остальные записи при раскрытии дают другие многочлены.

Вопрос 2. Вычисли устно, разложив на множители: 17 · 38 + 17 · 62.

Ответ: 1700

Пояснение. Выносим 17 за скобку: 17 · (38 + 62) = 17 · 100 = 1700. В этом и есть выгода разложения.

Вопрос 3. Разложение многочлена на множители — операция, обратная раскрытию скобок.

Ответ: Верно

Пояснение. Верно: раскрытие скобок превращает произведение в сумму, разложение — наоборот, сумму в произведение.

Вопрос 4. Сопоставь многочлен и его разложение.

Пояснение. Первая строка — разность квадратов, вторая — вынесение c, третья — квадрат разности 3a и 1.

Вопрос 5. Расставь шаги решения уравнения x² − 7x = 0 по порядку.

Ответ: вынести общий множитель x за скобки → получить произведение x(x − 7) = 0 → приравнять каждый множитель к нулю → записать корни 0 и 7

Пояснение. Сначала выносим общий множитель, получаем произведение, равное нулю, потом приравниваем каждый множитель к нулю и записываем корни.

Вопрос 6. Какие равенства верные? Выбери все.

Ответ: x² − 36 = (x − 6)(x + 6); y² + 4y + 4 = (y + 2)²; n² − 2n = n(n − 2)

Пояснение. Первое — разность квадратов, второе — квадрат суммы, четвёртое — вынесение n. Третье неверно: 5m + 10 = 5(m + 2).

Вопрос 7. К какому приёму относится каждое разложение?

Пояснение. 3a³ − 12a = 3a(a² − 4) — вынесение. x² − 14x + 49 = (x − 7)² — формула. bc + 2b + 3c + 6 = (b + 3)(c + 2) — группировка. 49 − z² = (7 − z)(7 + z) — формула.