Линейное уравнение с двумя переменными и его график

В кошельке ровно 300 рублей. Булочка стоит 30 рублей, бутылка сока — 50. Потратить всё до копейки можно по-разному: 5 булочек и 3 сока, 10 булочек без единого сока, ни одной булочки и 6 соков. Все эти покупки описывает одно равенство: 30x + 50y = 300, где x — число булочек, y — число бутылок сока. Разделим обе части на 10 и получим 3x + 5y = 30. Неизвестных два, и это не уравнение из младших классов, где ответ — одно число: здесь ответы — пары чисел, и их целое множество. Равенства такого вида окружают всю финансовую математику: любой бюджет, который делят между товарами с разными ценами, записывается именно так. Тот же вид имеют расчёты за электричество по двум тарифам, планирование похода по весу рюкзака и даже раскрой ткани: две величины связаны между собой, а итог зафиксирован. Двухтарифный счётчик — готовый пример: дневные киловатты по 6 рублей, ночные по 2, итог к оплате 480 рублей — равенство 6x + 2y = 480, где x и y — дневное и ночное потребление. Записать условие задачи таким равенством — первый навык, который проверяется на контрольной.

Общий вид: ax + by = c

Линейным уравнением с двумя переменными называют уравнение вида ax + by = c, где x и y — переменные, а a, b и c — числа, их называют коэффициентами. Слово «линейное» подсказывает: переменные входят только в первой степени, без квадратов, корней и деления на переменную. Уравнение 2x − 3y = 12 линейное. Запись x² + y = 4 уже нет: x возводят в квадрат. Равенство 5 : x + y = 2 не линейное из-за деления на x, а xy = 8 — из-за произведения двух переменных. Коэффициенты могут быть любыми числами, в том числе нулями: x = 4 — тоже линейное уравнение, в нём b = 0, а y = −2 — уравнение с a = 0. Нулевые коэффициенты дадут особые графики, до них дойдём ниже. Буквы a, b и c здесь — просто ярлыки для чисел: в конкретном уравнении 3x + 5y = 30 роль a играет тройка, роль b — пятёрка, роль c — тридцать. Число c при этом называют свободным членом: оно не умножается ни на x, ни на y. Если оба коэффициента при переменных не равны нулю, уравнение называют полным, а если один из них нулевой — неполным; у неполных графики особенные, о них ниже. Проверить линейность просто: закрой пальцем x, потом y и посмотри, не прячется ли где-то квадрат или деление.

Решение — это пара чисел

Решением уравнения с двумя переменными называют пару чисел (x; y), которая обращает его в верное равенство. Проверим уравнение 3x + 5y = 30. Пара (5; 3): подставляем 3 · 5 + 5 · 3 = 15 + 15 = 30 — верно. Пара (0; 6): 0 + 30 = 30 — тоже подходит. А пара (3; 5) ломается: 9 + 25 = 34. Порядок чисел в паре принципиален: первое число всегда для x, второе — для y. Сколько всего решений? Бесконечно много: выбери любой x, посчитай соответствующий y — готова новая пара. Математика разрешает и отрицательные числа, и дроби, но в жизненной задаче про покупки подходят только целые неотрицательные значения: булочек не бывает минус две. Подобные ограничения в текстовых задачах приходится удерживать в голове самому: равенство честно выдаёт все пары подряд, а отбор подходящих по смыслу — твоя работа. Дробные решения тоже законны: возьми x = 3, тогда 5y = 21 и y = 4,2 — пара (3; 4,2) обращает равенство в верное. Булочки по половине не продают, но в уравнении без жизненного сюжета любая пара годится. Чтобы аккуратно перебирать решения, двигай x с шагом 1 и каждый раз пересчитывай y — так ни одна пара не потеряется. Если нужен график, те же пары сразу дают точки: две штуки — и прямая готова.

График уравнения — прямая

Отметь все решения уравнения 3x + 5y = 30 на координатной плоскости — они ложатся на одну прямую. Это и есть график уравнения. Чтобы построить его, вырази y через x: 5y = 30 − 3x, отсюда y = 6 − 0,6x. Получилась линейная функция с угловым коэффициентом −0,6 — знакомая территория. Дальше два удобных значения x, две точки, линейка — прямая готова. Особые случаи выглядят так. Уравнение x = 4 задаёт вертикальную прямую через точку (4; 0): на ней y может быть любым, ведь слагаемого с y нет. Уравнение y = −2 задаёт горизонтальную прямую на высоте −2. А если оба коэффициента при переменных нулевые, как в 0 · x + 0 · y = 7, графика нет вовсе: равенство не выполняется ни при каких числах. На ОГЭ график уравнения с двумя переменными чаще всего просят построить через две точки, а третья точка нужна для самопроверки: если она не легла на прямую, где-то ошибка в счёте. Слово «все» здесь ключевое: каждая точка прямой — чьё-то решение, и каждое решение — точка прямой, поэтому уравнение и называют линейным. Если выражать y лень, иди с другой стороны: подставь x = 0, найди y, затем приравняй y к нулю и найди x — получишь те самые две удобные точки прямо на осях.

Проверим уравнение в деле: на 150 рублей купили тетради по 18 рублей и ручки по 24 рубля — потратили всё до копейки. Если тетрадей x штук, а ручек y штук, выходит 18x + 24y = 150. Оба коэффициента делятся на 6, и условие удобно упростить сразу: 3x + 4y = 25. Вопрос задачи: какие покупки реально возможны? Тетради и ручки продают поштучно, поэтому нужны целые неотрицательные решения — дробные пары уравнению не противоречат, но покупкой не бывают. Значит, перебираем x от 0 до 8 (при больших x слагаемое 3x уже перевалит за 25) и для каждого считаем y = (25 − 3x) : 4, оставляя только те случаи, где деление идёт нацело.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема