Чтение графиков 7 класс: реальные процессы

Вечером семья собирается на дачу на выходные, и папа открывает сайт погоды. Там не таблица из двадцати четырёх чисел, а линия: вверху пик — тёплый полдень, внизу провал — ночное похолодание. Один взгляд, и всё ясно: утром ехать холодно, к обеду потеплеет. Таблицу нужно читать число за числом, а график рассказывает историю сразу целиком: где было жарко, где холодно, когда температура росла, а когда падала. Умение читать такие линии — один из самых полезных навыков школьной математики: графики ждут тебя в физике, экономике, медицине и даже в приложении маршрутной навигации, где рисуется профиль высот дороги.

График процесса строят в координатах: по горизонтали откладывают независимую величину, чаще всего время, а по вертикали — зависимую, например температуру, путь или объём. Каждая точка графика отвечает на два вопроса сразу: когда это было и сколько тогда было. Точка с координатами (14; 9) на графике температуры означает: в два часа дня было девять градусов. Важно разбираться в масштабе: одна клетка по вертикали может означать один градус или пять — это написано на оси, и прежде чем что-то измерять по графику, масштаб читают первым делом, как легенду к карте. Не забывай и про единицы: на одной оси часы, на другой градусы, километры или рубли — подписи на осях подсказывают, о чём именно спрашивает график.

Как устроен график процесса

Разберём суточную температуру. По горизонтальной оси идут часы от нуля до двадцати четырёх, по вертикальной — градусы. Линия начинается вечером предыдущего дня в минус трёх, всю ночь ползёт вниз до минус пяти, с рассветом поворачивает вверх и к двум часам дня добирается до плюсовых девяти градусов, после чего весь вечер плавно опускается. По этому описанию уже можно начертить график, и наоборот — по графику восстановить рассказ. График и текст описывают одно и то же разными языками, и переводить туда и обратно — основной навык темы.

Точку графика записывают парой координат в скобках: сначала значение с горизонтальной оси, потом с вертикальной. Пара (9; 4) означает: в девять утра было четыре градуса. Полезная привычка — отмечать на линии три-четыре ключевые точки и подписывать рядом их пары: такие метки заменяют целый пересказ. Обрати внимание, что между отмеченными точками линия проводится плавно: температура менялась не скачками, а непрерывно, и график процесса изображает именно непрерывное изменение, а не отдельные измерения.

Сравнение двух графиков на одних осях — отдельное удовольствие: две линии велосипедистов сразу показывают, кто вырвался вперёд, где догонял, а где встретились. Точка пересечения линий — момент, когда значения сравнялись: в это время оба были в одном месте. В задачах про поездку из города и встречный автобус пересечение — момент встречи, и его снимают с графика одной вертикалью вниз до оси времени. Два взгляда — на точку пересечения и на крутизну — закрывают половину текстовых задач на движение.

По графику сразу видны промежутки роста и убывания: с шести утра до двух дня температура росла, с двух дня до полуночи убывала. Видны и крайние точки: наибольшее значение девять градусов в два часа дня, наименьшее минус три в шесть утра. Таблица заставляет искать эти ответы глазами по строкам, а график показывает их положением: вершина линии — наибольшее, провал — наименьшее. Именно поэтому прогнозы погоды, кардиограммы и биржевые сводки рисуют линиями: крайние точки и промежутки движения видны мгновенно, без вычислений.

Потренируй глаз на графике расхода электричества в доме. Ночью линия лежит низко — все спят. В семь утра резкий пик: будильники, чайники, душ. Днём линия проваливается — дом пустой, а к шести вечера поднимается второй пик: ужин, телевизор, свет. По такому рисунку энергетики решают, какую станцию включать в какой час, и это не учебный пример, а настоящий производственный график. Один взгляд на линию экономит чтение сотен чисел, и именно поэтому графики делают везде, где данные идут подряд по времени.

Скорость изменения: крутой и пологий участки

График отвечает не только на вопросы «сколько» и «когда», но и на вопрос «насколько быстро». Утром температура поднялась с минус трёх до плюс четырёх — на семь градусов за три часа, линия шла круто. Вечером упала с девяти до трёх — на шесть градусов, но за шесть часов, и линия выглядит заметно более пологой. Чем круче участок, тем быстрее меняется величина: это и есть скорость изменения, пока на качественном уровне. Сравнивать крутизну двух участков — значит сравнивать скорость изменения, и глаз делает это точнее, чем кажется.

На графике движения правило крутизны работает особенно наглядно. Линия пути велосипедиста идёт вверх — он едет; чем круче, тем выше скорость. Линия стала горизонтальной — путь не растёт, значит поездка остановилась: обед на привале или светофор. Новый подъём с ещё большей крутизной — обратная дорога быстрее. Никаких формул для такого чтения не нужно: горизонтальный участок, крутость, изломы — всё читается глазом, а числа при желании снимаются с осей. Так же устроены графики высоты самолёта: разбег, набор высоты, горизонтальный полёт и плавный спуск.

Графики из жизни окружают тебя каждый день, и почти все они — про реальные процессы. В мобильном приложении оператора рисуют расход трафика по дням: после подключения нового тарифа линия падает. Чек из магазина — почти график: каждая строка добавляет к сумме свою ступеньку. Бак на заправке наполняется резко вверх, а потом стоит на полке — полный. Поездка на такси: сразу начальная цена посадки, потом плавный рост по километрам, в пробке — снова горизонтальный участок, но уже платный. Каждый раз оси, масштаб и характер линии отвечают на практический вопрос быстрее, чем длинное описание.

Есть и хитрость, о которой стоит знать заранее: масштаб на осях может быть неравномерным или обрезанным. На некоторых диаграммах вертикальная ось начинается не с нуля, и тогда небольшое изменение выглядит как катастрофа: рост цены с двадцати до двадцати двух рублей занимает всю высоту рисунка. Проверяй, откуда начинается шкала и сколько в одной клетке, — это три секунды, а спасает от громких ложных выводов. Честный график показывает всю шкалу от нуля или честно предупреждает об обрезке.

Дальше — тренажёр и тест. Считай значения по графику и описанию, различай рост и убывание, сравнивай крутизну участков и не дай обрезанной оси себя обмануть. Когда в следующей главе появится линейная функция, ты встретишься с теми же линиями уже по-алгебраически, с коэффициентами, и наклон из «круто-пологого» превратится в число. А пока навык простой: оси, масштаб, крайние точки, промежутки — четыре взгляда на любой график, и история процесса прочитана.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема