Дробные рациональные уравнения

Лодка прошла 12 километров по течению реки и столько же обратно. Её собственная скорость x км/ч, скорость течения 3 км/ч. По течению лодка шла $\frac{12}{x+3}$ часа, против — $\frac{12}{x-3}$ часа, и путь против течения занял на один час больше. Получаем уравнение $\frac{12}{x-3}-\frac{12}{x+3}=1$. В левой части — дроби с буквой в знаменателе, поэтому ни линейным, ни квадратным такое уравнение сразу не назовёшь. Это дробное рациональное уравнение, и решается оно в два приёма: сначала запрет (ОДЗ), потом приведение к целому уравнению. Доведём лодку до берега: умножим обе части на $(x-3)(x+3)$, получим $12(x+3)-12(x-3)=x^2-9$, откуда $72=x^2-9$ и $x=9$. Проверка: $\frac{12}{6}-\frac{12}{12}=2-1=1$ — сходится. Скорость лодки 9 км/ч. Заметь ход: мы не угадывали ответ и не перебирали числа — мы превратили дробное уравнение в знакомое целое. Именно так решаются задачи про движение по реке, про трубы и баки, про цены со скидками: жизнь с дробями — это не только половина пиццы.

Какие уравнения называют дробными рациональными

Рациональное уравнение — это уравнение, обе части которого рациональные выражения, то есть записи из чисел, букв, скобок, знаков сложения, вычитания, умножения и деления. Если переменная сидит только в числителях, уравнение называют целым: $2x+5=17$, $x^2-4x=0$, $3(x-1)=x+7$. Если переменная стоит хотя бы в одном знаменателе — уравнение дробное рациональное: $\frac{5}{x}=2$, $\frac{x+1}{x-3}=x$, $\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=1$. Разница не формальная. Целое уравнение имеет смысл при любом x, а дробное — не при любом: знаменатель запрещено делить на ноль, поэтому у каждого дробного уравнения есть список запрещённых значений. Отсюда и особый план решения, которого у целых уравнений нет. Например, выражение 7/x имеет смысл при любом x, кроме нуля, а выражение (x + 2)/(x² − 1) — при всех x, кроме 1 и −1. А вот в уравнении x + 1/2 = 3 дробь есть, но переменной в знаменателе нет: знаменатель 2 не обращается в ноль никогда, поэтому уравнение остаётся целым. Смотри не на наличие дроби, а на то, где стоит переменная. Это как вход с пропуском: сначала проверяют, можно ли вообще заходить, и только потом решают вопрос. Общий план у всех дробных уравнений один: записать ОДЗ, избавиться от знаменателей, решить целое уравнение, вычеркнуть запрещённые корни. Дальше разберём каждый шаг на конкретных примерах — от простого уравнения «дробь равна нулю» до полноценного приведения к квадратному.

ОДЗ: сначала запрет, потом решение

ОДЗ — область допустимых значений — множество значений переменной, при которых уравнение вообще имеет смысл. Для дробного уравнения правило одно: знаменатели не равны нулю. В уравнении $\frac{x+4}{x-5}=2x$ запрещено $x=5$; в уравнении $\frac{1}{x}+\frac{3}{x+2}=5$ запрещены $x=0$ и $x=-2$; а в уравнении $\frac{x^2-4}{x^2-9}=1$ запрещены $x=3$ и $x=-3$, потому что знаменатель раскладывается на $(x-3)(x+3)$. Второе правило работает для уравнений вида «дробь равна нулю»: дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет. Так, дробь $\frac{x-2}{x+7}$ равна нулю только при $x=2$: числитель обнулился, знаменатель равен 9. А вот $\frac{x-2}{x^2-4}$ при $x=2$ вообще не определено — знаменатель там тоже ноль, хотя числитель обнуляется. Именно на этом месте контрольные теряют баллы. Как быстро находить ОДЗ? Выпиши все знаменатели подряд, приравняй каждый к нулю и реши маленькие уравнения: они будут линейными или распадутся на множители. Найденные числа — и есть запретный список. На числовой прямой такие значения рисуют выколотой точкой: она стоит на месте, но заходить в неё нельзя. И не путай два вопроса: ОДЗ — про то, при каких x уравнение имеет смысл, а корень — про то, при каких x оно ещё и верно. Сначала смысл, потом верность.

Приведение к целому уравнению и отбор корней

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема