Алгебра · 8 классурок · 2026-10-06~7 мин чтения

Задачи на совместную работу

Два маляра красят забор и заодно объясняют, что такое производительность, как заполнять таблицу кто-время-работа и почему времена складывать нельзя.

Открыть тренажёр Сразу к проверке

Два маляра получили заказ покрасить забор вокруг дачного участка. Первый, работая один, управился бы за 6 часов, второй — за 3. Заказчик прикидывает: «Один за 6, другой за 3, значит вместе — часа за четыре с половиной». Он взял среднее — и ошибся. Настоящий ответ 2 часа, и вот почему. Каждый час первый маляр красит одну шестую забора, второй — одну треть. Вместе за час они закрашивают $\frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2}$ забора — половину. Половина забора в час — значит, весь забор за 2 часа. Если сомневаешься, проверь наоборот: два часа по половине забора — это целый забор. Никакой магии: время в задачах на работу не складывается и не усредняется, складываются скорости работы. Этот тип задач ждёт тебя и на контрольной, и на ОГЭ, а ещё в жизни — когда планируешь уборку, разгрузку машины или подготовку проекта с другом. Обрати внимание: ответ получился не средним и не суммой, потому что скорость работы и время связаны через деление. Как только увидишь в условии слова «вместе», «одновременно», «работая вдвоём», — включай именно эту логику.

Работа, производительность, время

У каждой задачи на работу три действующих лица. Первое — объём работы: сколько надо сделать деталей, страниц, метров забора, бассейнов. Второе — время, за которое справляются. Третье — производительность: сколько работы уходит за единицу времени. Связывает их та же тройка формул, что и в задачах на движение, только вместо пути — работа. Единицы бывают разные: детали в час, страницы в минуту, литры в минуту у трубы, гектары в день у комбайна. Производительность бывает и очень маленькой, и огромной — важен не размер, а согласованность единиц: если работа в деталях, время в часах, то производительность — в деталях в час. Смешаешь детали и минуты — получишь ответ в неведомых единицах, и даже верный ход рассуждений будет выглядеть ошибкой. А в задачах, где объём не назван, всю работу принимают за единицу: один забор, один бассейн, один заказ. Тогда производительность измеряется «заборами в час» — долями работы за час. Первый маляр из вводной делает $\frac{1}{6}$ забора в час, второй $\frac{1}{3}$ , и это полноценные, честные скорости, просто измерены они не в метрах, а в долях заказа. Производительность можно и посчитать задом наперёд: работа, делённая на время. Заказ из 60 деталей за 4 часа — это 15 деталей в час; забор за 6 часов — это 1/6 забора в час. Полезно держать в голове и обратное движение: чтобы найти время, дели работу на производительность, и никогда наоборот.

A = p \cdot t, p = \frac{A}{t}, t = \frac{A}{p}

Работа A, производительность p, время t

Кто работает	Производительность	Время	Вся работа
Мастер у станка	20 деталей в час	3 ч	60 деталей
Принтер	12 страниц в минуту	5 мин	60 страниц
Труба	30 литров в минуту	8 мин	240 литров
Комбайн	6 гектаров в день	4 дня	24 гектара
Маляр	1/6 забора в час	6 ч	1 забор
Второй маляр	1/3 забора в час	3 ч	1 забор

Таблица кто-время-работа: главный инструмент

Самый удобный инструмент для таких задач — таблица с колонками: кто работает, время в одиночку, работа за единицу времени, вклад в общее дело. Объём, если он не назван, принимаем за 1, и каждый работник получает свою долю: строка первого маляра — «6 часов, 1/6 забора в час». Когда все строки заполнены, совместная работа собирается из долей: за час маляры делают $\frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2}$ забора. Если объём назван числом — 240 деталей, 180 метров — таблица заполняется теми же числами, а производительности складываются так же просто: 24 и 36 деталей в час дают 60 деталей в час. Работников трое? Логика не меняется: первая труба наполняет бассейн за 8 часов, вторая за 4, третья за 8 — вместе за час $\frac{1}{8} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{1}{2}$ бассейна, и бассейн заполнится за 2 часа. А если известна совместная доля, но неизвестно время — составляется уравнение вроде $\frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{x}$ , и тут уже работает восьмой класс с дробными уравнениями. Таблица хороша ещё и тем, что показывает решение целиком: проверяющий видит, откуда взялась каждая доля. На контрольной рисуй её даже в маленькой задаче — три строки экономят больше времени, чем стоят.

Задача о малярах от условия до ответа

Два маляра красят забор за 6 и 3 часа по отдельности. Вопрос: за сколько часов справятся вместе?
Принимаем весь забор за 1. Таблица: первый — 6 ч, 1/6 забора в час; второй — 3 ч, 1/3 забора в час.
Вместе за час: 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 забора. Приводим к общему знаменателю 6 — та же работа с дробями, что и на прошлых уроках.
$\frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2}$
Совместная производительность 1/2 забора в час, значит весь забор покрашен за 1 : 1/2 = 2 часа. Делим всю работу на совместную долю за час.
Проверка: за 2 часа первый сделает 2/6 = 1/3 забора, второй 2/3, вместе 1/3 + 2/3 = 1 — весь забор.

А что, если работники тянут в разные стороны? Классика жанра: первая труба наполняет бассейн за 5 часов, а вторая — слив — опорожняет его за 10. Откроем обе: вода прибывает или уходит? Слив работает против наполнения, поэтому его долю вычитают: за час бассейн получает $\frac{1}{5}$ от первой трубы и теряет $\frac{1}{10}$ от сливной. Итоговая скорость $\frac{1}{5} - \frac{1}{10} = \frac{1}{10}$ бассейна в час — бассейн наполнится за 10 часов, то есть вдвое дольше, чем одной первой трубой: дыра тормозит. Тот же приём — для ванны с незаткнутой пробкой, для корзины, из которой кто-то таскает яблоки, для бригады, где один лентяй снижает общий темп. Правило одно: одновременные вклады складываются, каждый со своим знаком.

Две трубы: наполнение против слива

Первая труба: +1/5 бассейна в час. Слив: −1/10 бассейна в час, он работу против наполнения.
Складываем со знаками: 2/10 − 1/10 = 1/10 бассейна в час.
$\frac{1}{5} - \frac{1}{10} = \frac{1}{10}$
Время: 1 : 1/10 = 10 часов — вся работа, делённая на совместную скорость.
Проверка: за 10 часов первая труба нальёт 2 бассейна, слив выпустит 1 — в бассейне останется ровно 1. Сходится.
Если бы скорости сравнялись (например, 1/6 и 1/6), уровень стоял бы на месте — бассейн не наполнился бы никогда.

Ловушка

Времена складывать нельзя, и усреднять тоже. Первая труба наполняет бассейн за 4 часа, вторая за 6; вместе они справятся не за 10 и не за 5 часов, а за 2,4: складываются производительности $\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{5}{12}$ , и время равно $\frac{12}{5}$ часа. Вторая частая ошибка — делить объём на время одного работника, игнорируя второго. Прикидка спасает: работая вместе, люди и машины всегда быстрее, чем самый быстрый из них в одиночку. Если твой ответ оказался дольше лучшего одиночного результата — ты где-то сложил или усреднил время зря. Проверь на числах: 4 часа и 6 часов «суммой» дали бы 10 часов, а средним — 5. Правильный же ответ 2,4 часа, и он меньше обоих. Ни одна из двух «естественных» догадок не работает — работает только сложение долей.

Алгоритм из пяти шагов

Прими всю работу за 1 или возьми названный в задаче объём.
Заполни таблицу: кто работает, время в одиночку, производительность.
Сложи производительности тех, кто работает одновременно.
Раздели работу на совместную производительность; если время неизвестно, обозначь его буквой x, составь уравнение и реши его.
Проверь ответ здравым смыслом: вместе быстрее, чем каждый в одиночку, но не быстрее, чем вдвое быстрее самого быстрого.

Совет

Перед вычислениями сделай прикидку коридором: вместе работники справятся быстрее, чем самый быстрый в одиночку, но не быстрее, чем вдвое быстрее его. Если один красит забор за 3 часа, вдвоём с любым напарником уйдёт меньше 3 часов, но больше полутора. Такой коридор мгновенно показывает, верный ли ход рассуждений. И проверяй размерность: детали делятся на детали-в-час, а не на часы — ответ обязан получиться в часах. Если участников трое и больше, коридор сужается, но правило остаётся: время совместной работы меньше, чем у самого быстрого, и положительно. Подозрительно крошечные ответы вроде 0,2 часа в школьных задачах почти всегда означают арифметическую ошибку.

Закрашено 0 из 6 = 0/6

Доля маляра за час

Первый маляр красит забор за 6 часов. Закрась часть забора, которую он выполнит за один час. Одна клетка из шести — это и есть 1/6 заказа.

Утверждение 1 из 6

В задачах на совместную работу производительности складывают.

Проверь себя

Каждое утверждение можно проверить маленьким расчётом: подставь числа и посчитай доли.

Производительность#: доля работы за единицу времени; если всю работу принять за 1, работник с временем t делает 1/t за час.
Совместная производительность#: сумма долей всех одновременно занятых, а мешающие считаются с минусом; время совместной работы — единица, делённая на эту сумму.
Обратная пропорциональность#: связь времени и скорости работы: во сколько раз выше производительность, во столько раз меньше время.

Проверь себя

Клавиши 1–9 выбирают вариант, Enter — «Проверить»

Первый станок делает 14 деталей в час, второй — 21. Сколько деталей в час сделают оба станка, работая одновременно?

Первая труба наполняет бассейн за 6 часов, вторая за 12. Вместе они наполнят его за 4 часа.

Мастер выполняет заказ за 5 часов. Какую часть заказа он выполнит за час? Запиши десятичной дробью.

Два маляра красят забор: первый — 9 метров в час, второй — 6 метров в час. Сколько метров забора они покрасят за 4 часа, работая вместе?

Что верно для задач на совместную работу?

Сопоставь величину и её смысл.

Нажми на элемент слева, затем на его пару справа. Повторное нажатие отменяет связь.

Бригада красит 15 метров забора в час. За сколько часов бригада покрасит забор длиной 75 метров?

Заказ можно выполнить за 10 часов одному и за 15 часов другому. За сколько часов они выполнят заказ вместе?

Было понятно? Скажи — так мы видим, какие темы переписать.

Частые вопросы

Почему в задачах на совместную работу складывают производительности, а не времена?

За один час работники делают свои части работы, и эти части суммируются. Время получается делением всей работы на суммарную производительность, поэтому часы складывать нельзя.

Что делать, если работников трое?

Ничего нового: у каждого своя производительность, складываешь три доли и делишь работу на сумму. Таблица просто получает ещё одну строку.

Почему всю работу принимают за 1?

Если объём работы не назван, важны только доли: сколько забора или бассейна уходит за час. Единица удобна тем, что производительность сразу становится долей 1/t.

Как проверить ответ задачи на работу?

Смотри коридор: работая вместе, справляются быстрее, чем самый быстрый в одиночку. Дальше подставь ответ в условие и сверь объём работы: доли участников в сумме должны дать один забор или один бассейн.