Функция y = k/x и гипербола — алгебра 8 класс: график, свойства, задачи

Ты едешь на дачу, до которой 120 километров. Со скоростью 60 км/ч дорога займёт два часа, со скоростью 40 — целых три, а на скорости 120 — всего час. Заметь закон: скорость выросла вдвое — время сократилось вдвое; скорость упала в полтора раза — время растянулось в полтора раза. Произведение скорости на время всегда одно и то же: 120. Такие пары величин — скорость и время при фиксированном пути, цена и масса покупки, производительность и срок работы — называют обратно пропорциональными, и описывает их одна короткая формула с дробью. Её график не похож ни на прямую, ни на параболу: это разорванная кривая из двух крыльев.

Обратная пропорциональность и её область определения

Обратная пропорциональность — функция $y=\frac{k}{x}$, где k — число, не равное нулю. В поездке на дачу $k=120$: сколько бы ты ни ехал, скорость, умноженная на время, равна пути. Главный признак обратной пропорциональности: при увеличении одной величины в несколько раз другая уменьшается во столько же раз. Область определения — все числа, кроме нуля: делить на ноль нельзя, поэтому точка $x=0$ из графика выпадает. Значения тоже никогда не равны нулю: чтобы дробь $\frac{k}{x}$ обнулилась, нужен нулевой числитель, а k не ноль. Отсюда два факта, которые стоит держать в голове: график разорван в нуле на две части, и оси координат самому графику не принадлежат.

Коэффициент k отвечает за то, где живут ветви. При $k>0$ значения y повторяют знак x: положительный x даёт положительный y, отрицательный — отрицательный, и ветви занимают первую и третью четверти. При $k<0$ знаки противоположны, и ветви переезжают во вторую и четвёртую. Сам график называют гиперболой. У ветвей есть симметрия: если точка $(2;3)$ лежит на графике, то и $(-2;-3)$ тоже — кривая симметрична относительно начала координат. Чем больше модуль k, тем дальше ветви от центра: у $y=\frac{1}{x}$ точка над единицей на высоте единица, а у $y=\frac{20}{x}$ — на высоте двадцать, но форма кривой та же: все гиперболы подобны друг другу. Знак коэффициента удобно проверять подстановкой: возьми x = 1, посчитай y и посмотри, в какой четверти легла точка.

Асимптоты: почему график не дотягивается до осей

Ветви гиперболы ведут себя необычно: чем больше x, тем меньше y. Для $y=\frac{8}{x}$ при x равном десяти высота 0,8, при x равном ста — уже 0,08. Кривая прижимается к горизонтальной оси всё теснее, но коснуться её не может: значения никогда не ноль. Такую прямую, к которой график приближается сколь угодно близко, но не пересекает, называют асимптотой. У гиперболы две асимптоты — обе оси координат. Вертикальная асимптота x = 0: при x, стремящемся к нулю справа, ветвь уходит вверх безгранично. Слово «асимптота» переводится с греческого как «несовпадающая»: прямая и кривая сближаются бесконечно, но не встречаются.

Асимптоты экономят время на построении: достаточно понять, где ветви прижмутся к осям, и кривую можно рисовать уверенно, а не наугад. В школьных графиках асимптотами служат сами оси, но в старших классах встречаются сдвинутые: у графика $y=\frac{2}{x-3}$ вертикальной асимптотой станет прямая $x=3$, ведь именно там знаменатель обнуляется. Принцип один: числитель не зануляется, знаменатель устремляется к нулю — ветвь взмывает в бесконечность. Горизонтальную асимптоту видно по формуле напрямую: степень числителя меньше степени знаменателя, и кривая прижимается к горизонтальной оси. Проверь это на графике из интерактива выше: двигай коэффициент и следи, как ветви прижимаются к осям при любых значениях k.

Строим гиперболу по точкам

Гиперболу, как и любую функцию, строят по таблице значений. Возьмём $y=\frac{8}{x}$ и подберём удобные делители восьми: 1, 2, 4, 8 и их зеркальные отражения с минусом. Отмечаем точки и соединяем плавной линией — отдельно в каждой четверти. Главная ошибка новичка — соединить ветви одной дугой через начало координат: в нуле функции нет, там разрыв, и «мостик» между ветвями считается грубой ошибкой. Ветвь в первой четверти плавно опускается, а у вертикальной оси резко взмывает: это не два разных поведения, а одно движение с разной скоростью приближения к асимптотам.

Таблица значений — ещё и способ вернуть коэффициент k по точке. Если график проходит через точку (3; 4), то k равен произведению координат: $3\cdot 4=12$, и функция — $y=\frac{12}{x}$. На ОГЭ это задание уровня разминки: дали точку — перемножь координаты. Работает и в обратную сторону: зная k, проверь любую точку — умножь её координаты и сверь с коэффициентом. Точка (2; 5) для $y=\frac{10}{x}$ подойдёт, а (2; 6) — нет: произведение двенадцать, а не десять.

По готовому графику снимают значения и решают уравнения. Проведи вертикаль через x равное четырём на графике $y=\frac{8}{x}$ — упрёшься в точку высотой два. Проведи горизонталь на высоте два — встретишь ветви в точках x = 4 и x = −4, по одной на каждой. Так на графике проверяют равенства и находят решения уравнений вида $\frac{8}{x}=2$: корни — места пересечения кривой с горизонтальной прямой. Число пересечений сразу отвечает, сколько у уравнения корней: две встречи — два корня, ни одной — корней нет.

Гипербола в жизни и на графике задачи

Обратная пропорциональность окружает тебя каждый день. Время поездки при фиксированном пути убывает с ростом скорости. Масса покупки при фиксированной сумме убывает с ростом цены: на 300 рублей по 60 р. за килограмм выйдет 5 кг, по 100 р. — 3 кг. Время выполнения работы при фиксированном объёме убывает с производительностью: 240 деталей по 20 в час — 12 часов, по 40 в час — 6 часов. Даже печать документа живёт по тому же закону: всего страниц фиксировано, чем быстрее принтер, тем меньше минут. Во всех примерах одно и то же: произведение величин постоянно, и это произведение — коэффициент k. Увидеть в таблице цен знакомую гиперболу — значит сразу понять, как ведёт себя зависимость целиком.

• Скорость и время: путь 240 км — произведение всегда 240.
• Цена и масса покупки: сумма 300 р. — произведение всегда 300.
• Производительность и срок: план 240 деталей — произведение всегда 240.
• Число машин и время перевозки: весь груз один и тот же.

В задачах график бывает кусочным: на одном участке — гипербола, на другом — что-то ещё. Пример: бассейн объёмом 400 литров выкачивают насосами. Первые 100 литров ушли насосом по 50 л/мин — это ровно два часа. Остальные 300 литров качает насос мощностью x литров в минуту, и общее время описывается формулой $y=2+\frac{300}{x}$. График — кусок прямой высотой два, склеенный с гиперболой в первой четверти. Читая такие склейки, разбирай каждый кусок отдельно: свой закон, свои границы, своя область определения. Именно так выглядят графики в заданиях ОГЭ на чтение функций.

Обратная пропорциональность#

функция y = k/x, где k — число, не равное нулю

Ветвь гиперболы#

одна из двух частей графика, живущая в своей паре четвертей

Асимптота#

прямая, к которой график приближается бесконечно близко, но не пересекает

Область определения#

все значения x, кроме нуля: на ноль делить нельзя

Дальше — тест и тренажёр. На экзаменах гипербола чаще всего приходит с точкой: найди k по точке, определи четверти, сравни два графика с разными k. В старших классах обратная пропорциональность вернётся в степенных функциях и в задачах на оптимизацию, где важно, что произведение x на y постоянно. Умение видеть в таблице цен или в графике задачи знакомые два крыла — и есть цель урока: формула короткая, а описывает она десятки настоящих зависимостей. А если сомневаешься в четвертях, подставь в формулу любую удобную точку: знак результата скажет, где живут ветви.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема