Функция y=√x и гипербола y=k/x: графики и свойства

Два поручения из одного двора. Первое: под каток выделили квадратную площадку площадью 64 м² и нужно купить бортик — какой длины сторона? Квадрат с площадью 64 имеет сторону 8, потому что 8² = 64. Второе: на последний звонок купили 24 конфеты и делят их между гостями — если гостей x, каждому достанется $\frac{24}{x}$: пригласили четверых — по шесть, дюжину — по две. Первая зависимость — это функция $y=\sqrt{x}$, вторая — $y=\frac{24}{x}$. Обе встречаются в ОГЭ каждый год, причём в задании на сопоставление формул и графиков их путают чаще всего. Построим оба графика по точкам, выпишем свойства и научимся узнавать кривые по трём признакам.

Строим y = √x по точкам

Для корня удобно подставлять точные квадраты — тогда подкоренное выражение считается в уме. Составь таблицу, отметь точки на плоскости, соедини плавной линией без линейки. Между целыми квадратами кривая тоже проходит: √2 ≈ 1,41, √3 ≈ 1,73, √5 ≈ 2,24 — эти промежуточные точки нужны для плавности, их берут с калькулятора. Кривая стартует в начале координат, резко взмывает и потом распрямляется: между 0 и 1 она успевает подняться до единицы, а между 9 и 16 — лишь с трёх до четырёх.

У кривой есть родословная. В седьмом классе ты строил параболу y = x²; её правая ветвь проходит через точки (1; 1), (2; 4), (3; 9). График y = √x проходит через те же точки, но с переставленными координатами: (1; 1), (4; 2), (9; 3). Мы просто читаем параболу «наоборот»: вместо вопроса «какой y при данном x» спрашиваем «при каком x это число будет квадратом». На чертеже это отражается симметрией: графики y = x² при x ≥ 0 и y = √x симметричны относительно прямой y = x — биссектрисы первого координатного угла. Поэтому график корня и называют ветвью параболы: он ровно наполовину парабола, повёрнутая набок.

Теперь свойства — по чертежу их видно, а словами проверяют на контрольных. Область определения — x ≥ 0: под корнем не может стоять отрицательное число. Область значений — тоже y ≥ 0: квадратный корень не бывает отрицательным. Нуль единственный — в начале координат. Функция возрастает на всей области определения: правее по x — выше по y, без исключений. Отсюда следствие для уравнений: $\sqrt{x}=a$ при a > 0 имеет ровно один корень, при a < 0 — ни одного. И самое незаметное свойство: график выпуклый вверх — кривая выгибается над хордой. Проверь: хорда от (0; 0) до (4; 2) в середине, при x = 2, имеет высоту 1, а кривая в этой точке — √2 ≈ 1,41, выше. Растёт график неограниченно, но всё медленнее: чтобы подняться с 3 до 4, придётся пройти от x = 9 до x = 16 — семь единиц направо ради одной единицы вверх.

Область определения#

все x, не меньшие нуля: подкоренное выражение неотрицательно

Область значений#

все y ≥ 0

Монотонность#

возрастает на всей области определения

Выпуклость#

выпуклый вверх: кривая лежит выше любой своей хорды

Уравнение √x = a#

один корень x = a² при a > 0, ни одного при a < 0

Чтение графика — это две линии. Нужен y по данному x — веди вертикаль до кривой и смотри высоту: над x = 5 кривая проходит высоту примерно 2,2. Нужен x по данному y — веди горизонталь и опускайся на ось: на высоте 1,5 кривая стоит над x ≈ 2,25. Горизонталь решает заодно уравнения: прямая y = 1,5 встречает график один раз — значит, у уравнения √x = 1,5 одно решение. Прямая y = −1,5 не встречает совсем: график живёт выше оси. Единственность встречи — прямое следствие возрастания: кривая не может вернуться и пересечь ту же горизонталь второй раз.

Гипербола y = k/x: две ветви и асимптоты

Обратная пропорциональность — зависимость, в которой произведение величин постоянно. Конфеты: гостей, умноженных на конфеты каждому, всегда 24 при любой раскладке. Общий вид: $y=\frac{k}{x}$, где k — число, не равное нулю. Для любой точки графика $x\cdot y=k$: подставь (6; 4) — произведение 24, подставь (3; 8) — снова 24. Таблицу значений строим по делителям числа: для k = 24 берём x = 1, 2, 3, 4, 6, 8 и получаем 24, 12, 8, 6, 4, 3. Отрицательные x тоже работают: при x = −4 получится y = −6, и это уже другая ветвь. Кривая из двух отдельных половин называется гиперболой — название ей дали древние греки при изучении конических сечений.

Знак k решает, где живут ветви. При k > 0 произведение xy положительно, значит x и y одного знака — ветви в первой и третьей четвертях. При k < 0 — во второй и четвёртой. Проверь на паре k = 24 и k = −24: первая гипербола проходит через (2; 12), вторая через (2; −12). У ветвей есть два пристанища, которые они никогда не покидают: оси координат. При больших x значения прижимаются к нулю: 24 : 10 = 2,4, 24 : 100 = 0,24, 24 : 10 000 = 0,0024 — кривая ползёт вдоль оси Ox. При маленьких x значения улетают: 24 : 0,1 = 240 — ветвь уходит вверх вдоль оси Oy. Прямую, к которой график приближается сколь угодно близко, но не касается, называют асимптотой: у гиперболы их две, и обе — координатные оси.

Область определения гиперболы — все числа, кроме нуля: на ноль делить нельзя. Записывают объединением промежутков: x ∈ (−∞; 0) ∪ (0; +∞). Здесь спрятана тонкость, которую любит проверять ОГЭ: функция с k > 0 убывает на каждом из промежутков, но не на всём множестве сразу. Контрпример: y = 24/x, сравни x = −1 и x = 1 — значения −24 и 24, а −24 меньше 24: при движении слева направо через ноль функция скакнула вверх. Убывание внутри ветви и скачок между ветвями — разные вещи, и в ответе пишут именно про каждый промежуток.

Положим обе кривые рядом и увидим характеры. Корень — одиночка: одна ветвь, которая начинается в начале координат и уходит вправо вверх. Гипербола — пара: две ветви, которые никогда не встречаются и не касаются осей. Область определения отражает характер: у корня пуста целая левая полуплоскость, у гиперболы запрет только в одной точке, но кривая разорвана в ней надвое. Обе растут без ограничений — корень вправо, гипербола вверх у нуля. Различают их на чертеже мгновенно по трём признакам: где начинается, сколько ветвей, чем прижимается к осям.

ОГЭ: сопоставление формул и графиков

Задание на сопоставление даёт четыре формулы и четыре графика — например, прямую, параболу, корень и гиперболу. Стратегия из трёх шагов. Первый: посмотри, где графика нет совсем — это область определения. У корня пуста левая полуплоскость, у гиперболы дырка над нулём, у прямой и параболы пусто нигде. Второй: сравни четверти. Гипербола с k > 0 живёт в I и III, с k < 0 — во II и IV; прямая y = kx с положительным k проходит через те же I и III, но она сплошная и идёт через ноль. Третий: контрольная точка. Подставь x = 1 или x = 4 в формулу и проверь, через какую кривую проходит полученная точка. Трёх шагов хватает всегда: двух формул с одинаковыми областями определения, четвертями и контрольными точками не бывает.

Вторая любимая формулировка — «сколько точек». Вопрос ставится про пересечение с горизонтальной прямой. График y = √x и прямая y = 3: одна точка, потому что уравнение √x = 3 имеет единственный корень 9. Та же прямая y = −3: ни одной — корень не бывает отрицательным. Гипербола y = 12/x и прямая y = 3: одна точка x = 4 в первой четверти; прямая y = −3 дала бы одну точку в третьей. А прямая y = 0 — то есть ось Ox — не пересекает гиперболу ни разу: ноль не получается от деления k на что угодно. Это вопрос-ловушка: горизонталь, совпавшая с асимптотой, всегда даёт ответ «ни одной».

Куда идти с этими знаниями дальше? В ОГЭ графики функций — задание из первой части, лёгкий балл для того, кто узнаёт кривые по трём признакам. В физике обратная пропорциональность появится в законе Бойля — Мариотта: при постоянной температуре давление и объём газа дают как раз гиперболу. А корень вернётся в теорему Пифагора и в геометрию восьмого класса — там без него не посчитается ни одна диагональ квадрата.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема