Чётные и нечётные функции. Степенная функция

Художник-витражист закончил левую половину узора и отражает её зеркально: правая половина готова бесплатно. С графиками функций так же — у многих есть симметрия, и если её вовремя заметить, таблицу значений и построение можно сократить вдвое. Калькулятор это свойство уже показывал: (−5)² = 25 и 5² = 25 — одинаковый ответ для противоположных чисел. Это не совпадение, а свойство функции y = x²: она выдаёт одно и то же значение для x и для −x. Такие функции зовут чётными. А у куба всё наоборот: 2³ = 8, но (−2)³ = −8 — значения противоположны. Симметрия окружает тебя и вне алгебры: крылья бабочки зеркальны, кленовый лист симметричен относительно центральной жилки, а лопасти вентилятора повторяются поворотом вокруг оси. У графиков функций главных симметрий две: зеркальная — относительно вертикальной оси, и центральная — относительно начала координат. Сегодня научимся распознавать оба случая по формуле и посмотрим, что тут особенного у степенных функций. Обе симметрии проверяются на конкретных числах за минуту, и обе экономят время на контрольной.

Чётные функции: зеркало на оси y

Функция называется чётной, если для любого x из её области определения выполняется равенство f(−x) = f(x). Проверим на y = x²: значение в точке −3 равно (−3)² = 9, значение в точке 3 равно 3² = 9 — совпало. Работает и для суммы: у функции f(x) = x⁴ + 2 получаем f(−3) = 81 + 2 = 83 и f(3) = 83. Каждая пара противоположных точек даёт одну и ту же высоту, поэтому график складывается пополам вдоль вертикальной оси: он симметричен относительно оси Oy. Классические чётные примеры — y = x², y = x⁴ и y = |x|: модуль тоже чётный, ведь |−7| = 7 = |7|. В определении спрятана оговорка «для любого x из области определения», и она серьёзная: у чётной функции область определения обязана быть симметричной относительно нуля — если x можно брать, то и −x должно быть можно, иначе паре не с кем совпадать. И ещё одна деталь: совпадение в одной точке ничего не доказывает. То, что f(−2) = f(2) у какой-то функции, — случайность; чётность проверяется равенством формул сразу для всех x, и поэтому финальный аргумент всегда алгебраический: подставь −x и упрости. Практическая выгода прямая: достаточно построить график при x ≥ 0, а левую половину получить отражением — ни одной лишней точки считать не нужно.

Нечётные функции: поворот на 180 градусов

Функция называется нечётной, если для любого x из области определения выполняется равенство f(−x) = −f(x). У функции y = x³ значение в точке −2 равно (−2)³ = −8, а −f(2) = −8 — всё сходится. График такой функции симметричен относительно начала координат: если повернуть картинку на 180 градусов вокруг точки O, она совпадёт сама с собой. Равенство f(−x) = −f(x) удобно проверять в два действия: сначала найди f(−x), потом отдельно −f(x), и только потом сравнивай записи — сравнение «на глаз» часто подводит. Проверим гиперболу y = 1/x: значение в точке −2 равно 1/(−2) = −0,5, а −f(2) = −(1/2) = −0,5. Гипербола нечётная, хотя в нуле она вообще не определена — определение этого и не требует: равенство проверяется только в тех точках, где функция существует. Прямая y = x тоже нечётная: f(−5) = −5 = −f(5). Построение от этого выигрывает наглядно: посчитай точки кубической параболы только для положительных x — (0; 0), (1; 1), (2; 8), (3; 27) — и получи отрицательные сменой знака у обеих координат: (−1; −1), (−2; −8), (−3; −27). Семь точек вместо тринадцати, а график тот же. Нечётность — это не «какая-то симметрия», а конкретный вид: центральная симметрия графика, ровно как у лопастей вентилятора.

Степенная функция y = x в степени n

Степенной функцией называют функцию вида y = xⁿ, где n — некоторое число. При натуральных n получаются знакомые герои: n = 1 — прямая y = x, n = 2 — парабола y = x², n = 3 — кубическая парабола y = x³. Чётность здесь управляется показателем: если n чётное, функция чётная, потому что (−x)ⁿ = xⁿ; если n нечётное — функция нечётная, потому что (−x)ⁿ = −xⁿ. Красивое правило: смотришь на показатель степени — знаешь вид симметрии графика. С ростом чётного показателя «чаша» параболы становится круче и уже: y = x⁴ рядом с y = x² прижимается к оси y, но симметрия у них одна — относительно оси Oy. Особый случай — n = −1: формула y = x⁻¹ — это та же функция y = 1/x, гипербола с областью определения «все числа, кроме нуля». Она нечётная: ветви в первой и третьей координатных четвертях симметричны относительно начала координат. Чётность степенной функции — быстрый фильтр на ОГЭ: нечётная степенная функция не может иметь график, симметричный относительно оси y, а чётная — относительно начала координат. Показатель, кстати, не обязан быть натуральным: y = √x — это та же степенная функция с показателем одна вторая, но в девятом классе достаточно натуральных показателей и случая n = −1. И та же экономия при построении: чётная функция требует половины точек — вторую половину отражаешь относительно оси Oy, нечётную — относительно начала координат.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема