Свойства функций: область определения, нули, промежутки знакопостоянства

Приложение погоды рисует за сутки плавную кривую: в 4 часа ночи было минус 3 градуса, к 14 часам температура поднялась до плюс 11, а к полуночи опустилась снова до плюс 2. Эта кривая — график функции T(t), где t — время в часах, а T — температура. Метеоролог смотрит на неё и отвечает сразу на несколько вопросов: когда было теплее всего, в какие моменты термометр показывал ровно ноль, когда кривая шла вниз, а когда вверх. Все эти вопросы из алгебры: они про свойства функции. Список свойств короткий и стандартный: область определения, нули, промежутки знакопостоянства, возрастание и убывание, наибольшее и наименьшее значения. Именно в таком виде их просят назвать по графику на ОГЭ. Разберём каждое свойство на формулах и на этой самой температурной кривой. Каждое свойство — короткий ответ на конкретный вопрос о графике, а все они вместе — стандартный план исследования функции, по которому работают и в старших классах.

Область определения: где функция существует

Область определения функции D(f) — это все значения аргумента, при которых формула имеет смысл. Аргумент — независимая переменная, чаще всего буква x, а область определения отвечает на вопрос: какие x вообще можно подставлять. Для линейной функции y = 3x − 2 подходит любое число: подставь хоть −100, хоть миллион — всё посчитается. Ограничения появляются там, где формула сопротивляется. Первое сопротивление — деление на ноль: у функции y = 5/x значение x = 0 запрещено, и область определения — все числа, кроме нуля. Комбинированный вариант: у функции y = 1/(x − 4) знаменатель обнуляется при x = 4, поэтому из области определения выбрасывается только четвёрка. Второе сопротивление — извлечение квадратного корня: y = √x определена только при x ≥ 0, ведь корень из отрицательного числа в школьном курсе не извлекается; сдвинь корень внутрь — y = √(x − 3) — и граница переедет на тройку. Третье ограничение приходит из жизни, а не из формулы: если функция задана таблицей наблюдений или графиком измерения, область определения — просто те значения, которые реально встретились. По графику это читается напрямую: где кривая нарисована — те x входят, где оборвалась — те нет. Похожая логика работает в бытовых задачах: функция «стоимость поездки на самокате от времени» имеет смысл при времени больше нуля — отрицательная поездка не бывает, а нулевая ничего не стоит.

Нули функции: где график встречает ось x

Нуль функции — это значение аргумента, при котором значение функции равно нулю: f(x) = 0. На графике нули живут в точках пересечения с осью x: кривая температуры пересекла ось абсцисс — в этот момент термометр показывал ровно ноль. Найти нули по формуле просто: приравняй правую часть к нулю и реши уравнение. Для функции y = x² − 4 получается x² − 4 = 0, откуда x² = 4 и x = 2 или x = −2. Два нуля — и это видно на графике: парабола протыкает ось x дважды. У линейной функции y = 2x − 6 нуль один: уравнение 2x − 6 = 0 даёт x = 3. А у функции y = x² + 5 нулей нет вовсе: квадрат плюс пять всегда положителен, парабола висит над осью и никогда её не касается. Количество нулей — уже свойство функции: оно говорит, сколько раз график пересекает ось. Нули удобны и для самопроверки: нашёл в ответе x = 5 — подставь его в формулу и убедись, что вышло ровно 0, а не 0,5 и не −0,5. Для температурной кривой нули — моменты замерзания: на графиках метеорологов такие точки отмечают прямо на оси времени.

Знаки, монотонность и рекорды: читаем график целиком

Нули делят ось x на куски, и на каждом куске график либо выше оси, либо ниже — знак функции постоянен. Такие куски называют промежутками знакопостоянства. Для параболы y = x² − 4 промежутки, где f(x) > 0, — это (−∞; −2) и (2; +∞), а промежуток, где f(x) < 0, — это (−2; 2). Скобки круглые: сами нули знаку не принадлежат, в них функция равна нулю, а не положительна или отрицательна. Проверка числом занимает пять секунд: подставь x = 0 в середину подозрительного промежутка, получишь −4 — знак минус подтверждён. Дальше — характер движения. Функция возрастает на промежутке, если большему значению аргумента отвечает большее значение функции: график ползёт вверх. Убывает — если вниз. Проверяется это тоже подстановкой: возьми две точки промежутка и сравни значения. Температурная кривая из вводного примера убывала ночью, возрастала с утра до 14 часов, потом снова убывала; при этом наибольшее значение плюс 11 достигалось в момент t = 14, а наименьшее минус 3 — в момент t = 4. Рекорд — это значение y, а момент рекорда — значение x: «наибольшее значение равно 11» и «наибольшее значение достигается при t = 14» — ответы на два разных вопроса. У параболы y = x² − 4 наименьшее значение равно −4 и достигается при x = 0. У функции y = 1/x рекордов нет вообще: ветви гиперболы прижимаются к осям, но никогда их не достигают.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема