Графическое решение уравнений и неравенств

Мяч после броска летит по параболе: высота h в метрах меняется как h(t) = 3 + 8t − 5t², где t — время в секундах. Когда мяч окажется на высоте четырёх метров? Уравнение 3 + 8t − 5t² = 4 после упрощения даёт 5t² − 8t + 1 = 0 — дискриминант 44, корни не круглые: (8 ± √44)/10. Но картинка отвечает на главный вопрос раньше алгебры: парабола высоты и горизонтальная линия четырёх метров встречаются дважды, значит, у уравнения два корня — мяч пересекает эту высоту на взлёте и на падении. Это и есть графическое решение: построить графики левой и правой частей и посмотреть на их пересечения. Метод не отменяет вычисления, зато мгновенно говорит, сколько корней существует и между какими числами они лежат. А для уравнений с корнем или дробью это часто самый естественный путь — формул для них в школьной программе просто нет.

Идея метода: корень — это абсцисса пересечения

Корень уравнения f(x) = g(x) — это такое x, при котором обе части равны. Построй y = f(x) и y = g(x) на одной координатной плоскости: в точке пересечения значения совпадают, значит, её абсцисса — корень. Ордината при этом равна общему значению обеих функций, и в ответ она не идёт. Вторая версия того же приёма: перенеси всё в одну часть, получи f(x) − g(x) = 0, построй разность и ищи её пересечения с осью x. Оба пути дают один ответ, но по-разному удобны: встреча двух графиков нагляднее, а пересечение с осью проще строить. В любом случае рисунок требует дисциплины: одна клетка — одна единица, оси подписаны, масштаб одинаковый по обеим осям. Кривая, нарисованная на глаз, покажет «примерно два с половиной» там, где честные три.

Кто с кем встречается: разбиение уравнения на функции

Суть подготовки — разрезать уравнение на две функции попроще. Квадрат слева — парабола; выражение вида kx + b — прямая; k/x — гипербола; √x — ветвь корня, живущая справа от нуля. Каждый кусок строится по известным правилам, и уравнение превращается в вопрос о встрече знакомых линий. Чем проще каждая функция, тем точнее рисунок: параболу строят по вершине и нескольким точкам, прямую — по двум, гиперболу — по четырём-пяти точкам ветви. Разбиение — ещё и выбор: x² = 2x + 3 можно рассматривать как встречу параболы и прямой, а можно перенести всё влево и искать пересечения параболы y = x² − 2x − 3 с осью x. Ответ один и тот же, но второй путь часто аккуратнее — меньше построений, меньше шансов промахнуться.

У графического метода редкое достоинство: посторонних корней у него нет. Рисунок показывает настоящие пересечения, и лишним точкам взяться неоткуда. Зато метод платит точностью. Корень, снятый с чертежа, всегда приближённый: клетки и толщина линии съедают доли. Отсюда рабочее правило: нашёл корень по графику — проверь подстановкой в уравнение. Равенство сошлось ровно — корень точный; получилось чуть-чуть мимо — значение иррациональное, и его уточняют вычислением, а график оставляют как прикидку и проверку количества корней. Масштаб здесь решает всё: чем крупнее нарисован участок вокруг корня, тем точнее снимается значение. Поэтому график для такой задачи делают большим: пол-листа на параболу — норма, а не расточительство.

Встреча с корнем: где алгебра подбрасывает лишнее

Уравнение √x = x − 2 показывает силу картинки. Алгебраический путь — возвести обе части в квадрат — даёт x² − 5x + 4 = 0 и два корня: 1 и 4. Проверка убивает единицу: √1 = 1, а 1 − 2 = −1, равенства нет — корень посторонний, квадрат его породил. График такой ловушки не устраивает: ветвь y = √x живёт при x ≥ 0 и растёт медленно, прямая y = x − 2 уходит вверх быстрее, они встречаются один раз, при x = 4 — и это весь ответ. Рисунок заодно показывает и область определения: слева от нуля ветви корня нет, там решения не водятся. Отсюда совет: уравнения с корнем и дробью проверяй картинкой даже тогда, когда считаешь алгеброй, — она заранее говорит, сколько корней должно выжить.

Сколько пересечений: таблица для прямой и параболы

Самый частый вопрос по этой теме: сколько корней у уравнения, где слева парабола, а справа прямая? Ответ даёт дискриминант. Перенеси всё влево до вида ax² + bx + c = 0 и посчитай D. Дискриминант больше нуля — прямая рассекает параболу в двух точках; равен нулю — касается, общая точка одна; меньше нуля — проходит мимо. Горизонтальная прямая y = c считается так же, только глазами: выше вершины параболы с ветвями вверх — два корня, точно на вершине — один, ниже — ни одного. Для y = x² и y = −5 всё видно без вычислений: квадрат не бывает отрицательным, пересечений нет. Это рассуждение — тот же счёт через дискриминант, только переведённый на язык линий, и на ОГЭ он экономит минуты.

Неравенства: выше оси или ниже

Тот же рисунок решает неравенства. Неравенство f(x) > 0 спрашивает: где график выше оси x? Отметь корни уравнения f(x) = 0 — точки, где кривая пересекает ось, — и посмотри на промежутки: на одних кривая над осью, на других под ней. Для параболы y = x² − 16 корни −4 и 4, выше оси график слева и справа: решения x < −4 или x > 4. У строгого неравенства x² > 16 наибольшее целое отрицательное решение −5: минус четвёрка сама себе не подходит. Так картинка объясняет и метод интервалов, и квадратные неравенства: чередование знаков на промежутках — это положение графика относительно оси, а корни — границы. Неравенство с двумя функциями f(x) > g(x) работает так же: ищи промежутки, где график f проходит выше графика g.

Где метод окупается: быстро оценить число корней до всякой алгебры, решить уравнение без школьной формулы, проверить своё алгебраическое решение и разобрать неравенство на глаз. В ОГЭ графики спрашивают прямо: соотнеси уравнения и число их корней, определи по рисунку количество решений системы. Привычка делать эскиз перед решением — рефлекс, который окупится и в старших классах: там графики проверяют даже производные. Начни с простого правила: любое уравнение сначала посмотри глазами, потом считай.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема