Системы уравнений второй степени с двумя переменными

Задача из второй части ОГЭ: периметр прямоугольного участка равен 30 м, а площадь — 56 м². Требуется найти стороны. Обозначим их x и y и переведём каждое условие в уравнение: x + y = 15 и xy = 56. По отдельности оба уравнения знакомы: у первого решений бесконечно много — любые пары, дающие в сумме 15; у второго тоже. Но участок один, и нужны пары, которые подходят обоим условиям одновременно. Такие требования записывают общей фигурной скобкой и называют системой уравнений. Здесь разберём системы, где одно из уравнений обязательно второй степени — с квадратом, произведением переменных или окружностью. Научимся решать их подстановкой и сложением, считать возможное число решений и сверяться с картинкой из линий. Заодно поймём, где здесь теряют корни и когда проверка правда нужна.

Решение системы — это пара, а не число

Решением системы называют пару чисел (x; y), которая обращает в верное равенство каждое уравнение сразу. Проверить пару просто: подставь её сначала в одно уравнение, потом во второе. Для системы x + y = 15 и xy = 56 пара (7; 8) подходит: 7 + 8 = 15 и 7 · 8 = 56. А пара (10; 5) проходит только первое уравнение — это решение первого уравнения, но не системы. Отсюда главное отличие от уравнений с одной переменной: ответ — не число, а пара, и порядок в паре важен. Пары (7; 8) и (8; 7) — два разных решения: в первом x = 7, во втором x = 8. А сколько всего таких пар — зависит от того, какие линии задают уравнения; этим и займёмся дальше.

Геометрический смысл: сколько раз линии встречаются

Каждое уравнение с двумя переменными рисует на координатной плоскости свою линию, и решение системы — точка, где линии встречаются. Поэтому уже по виду уравнений можно прикинуть число решений. Линейное уравнение даёт прямую, уравнение с x² или y² — параболу (а если оба квадрата с плюсом — окружность), произведение xy — гиперболу. Прямая и парабола встречаются не больше двух раз: прямая либо проходит мимо, либо задевает в одной точке, либо пересекает в двух. Прямая и окружность — те же три варианта: мимо, касание, секущая. Две окружности — тоже ноль, одна или две общие точки. А вот парабола и окружность могут встретиться и три, и четыре раза: замкнутая кривая способна проткнуть параболу дважды сверху и дважды снизу. Так что у системы второй степени бывает 0, 1, 2, 3 или 4 решения, и график подсказывает это раньше всяких вычислений.

Метод подстановки: линейное уравнение как донор

Алгебраическое решение начинается одинаково: возьми то уравнение, из которого удобно выразить одну переменную через другую, и подставь это выражение во второе. Обычно донором делают линейное уравнение: из x + y = 15 выходит y = 15 − x — формула без дробей и корней. После подстановки в уравнение xy = 56 остаётся одно уравнение с одной переменной, чаще всего квадратное. Каждый его корень — абсцисса будущего решения; ординату возвращает формула подстановки. Никакой магии в выборе донора нет: если оба уравнения второй степени, выражать всё равно придётся из какого-то одного, просто выкладки будут тяжелее, а формула — с дробью.

Нужна ли проверка найденных пар? В такой схеме — нет, и вот почему. Все переходы обратимы: выразили переменную, подставили, решили квадратное уравнение. Каждый корень через формулу y = 15 − x возвращает пару, которая честно удовлетворяет обоим уравнениям — посторонним корням здесь просто неоткуда взяться. Посторонние корни рождаются там, где шаг необратим: возведение обеих частей в квадрат теряет знак, умножение на выражение с переменной добавляет лишние решения, освобождение от дробей расширяет область определения. В чистой подстановке из линейного уравнения ничего этого нет, ограничений области тоже — поэтому проверка не обязательна. Осторожность всё равно дешёвая: подстановка пары в оба уравнения занимает полминуты и ловит арифметические описки.

Метод сложения и однородные системы

Когда оба уравнения собраны из x², y² и xy — их называют симметричными или однородными, — подстановка не лучший выбор: выразить переменную можно, но получатся дроби, а потом и корни. Здесь работает сложение и вычитание. Пример: x² + y² = 25 и xy = 12. Возведи x + y в квадрат: (x + y)² = x² + 2xy + y² = 25 + 24 = 49, значит, x + y = 7 или x + y = −7. Вместо одной системы с квадратами появились две линейные. Вычитание помогает, когда в уравнениях разные квадраты: разность x² − y² раскладывается на множители и связывается с суммой и разностью переменных. Однородное уравнение вида x² + xy − 2y² = 0 тоже сдаётся: (x + 2y)(x − y) = 0, то есть x = −2y или x = y — вместо кривой две прямые, и каждую подставляем во второе уравнение.

Графический метод и число решений

Второй взгляд на систему — нарисованный. Построй график первого уравнения, потом второго: сколько общих точек, столько и решений. Для пары «прямая и парабола» число решений предсказывает дискриминант: подстановка прямой в параболу даёт квадратное уравнение, и его дискриминант говорит, будет два решения, одно (касание) или ни одного. Три и четыре решения ищи среди парабол с окружностями и гиперболами. Честно про слабое место: по рисунку видно, что пересечение около трёх, но три это или три с половиной, чертёж молчит. Поэтому графический метод в чистом виде отвечает на вопросы «сколько решений и где примерно», а точные пары добирает алгебра. На ОГЭ такой вопрос встречается и сам по себе: даны графики — определи число решений системы.

В задании №20 система часто спрятана в текст: площадь и периметр, как в начале урока, скорость и время, «одно число больше другого на сколько-то, а их произведение равно...». Схема всегда одна: две переменные, два условия, решение системы, возврат к смыслу задачи. Перед вычислениями полезно прикинуть по графикам, сколько решений искать, а в конце проверить реальность ответа: длина не бывает отрицательной, а скорость — тысячей километров в час.

Подсказка: клавиши J — следующая тема, K — предыдущая, на телефоне: свайп влево/вправо — соседняя тема