Двугранный угол и перпендикулярность плоскостей — тренажёр

Пример 1. Проекция квадрата на плоскость α равна 8 см², угол между плоскостями равен 60°. Найди площадь самого квадрата в см².

Подсказка. Здесь известно S·cos 60°, а ищешь S.

Как решать. Проекция — это площадь, умноженная на cos 60°, то есть половина площади: S = 8·2.

Ответ: 16

Пример 2. Прямоугольник со сторонами 3 см и 10 см лежит в плоскости, параллельной плоскости α. Найди площадь его проекции на α в см².

Подсказка. Что делает с площадью угол 0°?

Как решать. Плоскости параллельны, угол 0°, cos 0° = 1 — проекция сохраняет площадь: 3·10.

Ответ: 30

Пример 3. Двускатная крыша: каждый из двух равных скатов длиной 10 м наклонён к горизонту под углом 60°. Найди ширину дома — расстояние между карнизами — в метрах.

Подсказка. Сложи заложения двух скатов.

Как решать. Заложение одного ската — 10·cos 60° = 10/2 м, а скатов два: 10/2 + 10/2 = 10 м.

Ответ: 10

Пример 4. Угол между плоскостями равен 60°, площадь фигуры — 28 см². Во сколько раз площадь фигуры больше площади её проекции?

Подсказка. cos 60° = 0,5.

Как решать. Проекция сжимается в cos 60° = 0,5 раза: 28·0,5 — вдвое меньше оригинала.

Ответ: в 2 раза

Пример 5. Проекция квадрата на плоскость α равна 4 см², угол между плоскостями равен 60°. Найди площадь самого квадрата в см².

Подсказка. Здесь известно S·cos 60°, а ищешь S.

Как решать. Проекция — это площадь, умноженная на cos 60°, то есть половина площади: S = 4·2.

Ответ: 8

Пример 6. Прямоугольник со сторонами 8 см и 12 см лежит в плоскости, параллельной плоскости α. Найди площадь его проекции на α в см².

Подсказка. Что делает с площадью угол 0°?

Как решать. Плоскости параллельны, угол 0°, cos 0° = 1 — проекция сохраняет площадь: 8·12.

Ответ: 96

Пример 7. Двускатная крыша: каждый из двух равных скатов длиной 7 м наклонён к горизонту под углом 60°. Найди ширину дома — расстояние между карнизами — в метрах.

Подсказка. Сложи заложения двух скатов.

Как решать. Заложение одного ската — 7·cos 60° = 7/2 м, а скатов два: 7/2 + 7/2 = 7 м.

Ответ: 7

Пример 8. Угол между плоскостями равен 60°, площадь фигуры — 20 см². Во сколько раз площадь фигуры больше площади её проекции?

Подсказка. cos 60° = 0,5.

Как решать. Проекция сжимается в cos 60° = 0,5 раза: 20·0,5 — вдвое меньше оригинала.

Ответ: в 2 раза

Пример 9. Проекция квадрата на плоскость α равна 7 см², угол между плоскостями равен 60°. Найди площадь самого квадрата в см².

Подсказка. Здесь известно S·cos 60°, а ищешь S.

Как решать. Проекция — это площадь, умноженная на cos 60°, то есть половина площади: S = 7·2.

Ответ: 14

Пример 10. Прямоугольник со сторонами 6 см и 7 см лежит в плоскости, параллельной плоскости α. Найди площадь его проекции на α в см².

Подсказка. Что делает с площадью угол 0°?

Как решать. Плоскости параллельны, угол 0°, cos 0° = 1 — проекция сохраняет площадь: 6·7.

Ответ: 42

Пример 11. Угол между плоскостями равен 60°, площадь фигуры — 19 см². Во сколько раз площадь фигуры больше площади её проекции?

Подсказка. cos 60° = 0,5.

Как решать. Проекция сжимается в cos 60° = 0,5 раза: 19·0,5 — вдвое меньше оригинала.

Ответ: в 2 раза

Пример 12. Проекция квадрата на плоскость α равна 10 см², угол между плоскостями равен 60°. Найди площадь самого квадрата в см².

Подсказка. Здесь известно S·cos 60°, а ищешь S.

Как решать. Проекция — это площадь, умноженная на cos 60°, то есть половина площади: S = 10·2.

Ответ: 20

Пример 13. Двускатная крыша: каждый из двух равных скатов длиной 11 м наклонён к горизонту под углом 60°. Найди ширину дома — расстояние между карнизами — в метрах.

Подсказка. Сложи заложения двух скатов.

Как решать. Заложение одного ската — 11·cos 60° = 11/2 м, а скатов два: 11/2 + 11/2 = 11 м.

Ответ: 11

Пример 14. Угол между плоскостями равен 60°, площадь фигуры — 10 см². Во сколько раз площадь фигуры больше площади её проекции?

Подсказка. cos 60° = 0,5.

Как решать. Проекция сжимается в cos 60° = 0,5 раза: 10·0,5 — вдвое меньше оригинала.

Ответ: в 2 раза

Пример 15. Прямоугольник со сторонами 9 см и 11 см лежит в плоскости, параллельной плоскости α. Найди площадь его проекции на α в см².

Подсказка. Что делает с площадью угол 0°?

Как решать. Плоскости параллельны, угол 0°, cos 0° = 1 — проекция сохраняет площадь: 9·11.

Ответ: 99

Пример 16. Двускатная крыша: каждый из двух равных скатов длиной 6 м наклонён к горизонту под углом 60°. Найди ширину дома — расстояние между карнизами — в метрах.

Подсказка. Сложи заложения двух скатов.

Как решать. Заложение одного ската — 6·cos 60° = 6/2 м, а скатов два: 6/2 + 6/2 = 6 м.

Ответ: 6

Пример 17. Угол между плоскостями равен 60°, площадь фигуры — 21 см². Во сколько раз площадь фигуры больше площади её проекции?

Подсказка. cos 60° = 0,5.

Как решать. Проекция сжимается в cos 60° = 0,5 раза: 21·0,5 — вдвое меньше оригинала.

Ответ: в 2 раза

Вопрос 1. Чему равен двугранный угол между двумя соседними гранями куба?

Ответ: 90

Пояснение. Все двугранные углы куба прямые: соседние грани перпендикулярны.

Вопрос 2. Что является линейным углом двугранного угла с ребром c?

Ответ: угол между двумя лучами, перпендикулярными c, по одному в каждой грани

Пояснение. Оба луча линейного угла выходят из одной точки ребра и перпендикулярны ему.

Вопрос 3. Все линейные углы одного двугранного угла равны.

Ответ: Верно

Пояснение. Точка на ребре выбирается произвольно, мера от этого не меняется — поэтому угол и определён честно.

Вопрос 4. Площадь треугольника 20 см², угол между его плоскостью и плоскостью проекции равен 60°. Найди площадь проекции в см².

Ответ: 10

Пояснение. S₀ = 20 · cos 60° = 20 · 0,5 = 10 см².

Вопрос 5. Какие утверждения о перпендикулярных плоскостях верны?

Ответ: двугранный угол между ними равен 90°; если одна проходит через прямую, перпендикулярную другой, они перпендикулярны

Пояснение. Перпендикулярные плоскости пересекаются по прямой, а не расходятся; признак — прямая, перпендикулярная другой плоскости.

Вопрос 6. Соедини понятие и его смысл.

Пояснение. Дверь на петлях наглядно показывает, как меняется двугранный угол от 0° до 180°.

Вопрос 7. Вставь пропуски.

Ответ: линейный → ребру → перпендикулярны

Пояснение. Линейный угол строится перпендикулярами к ребру, а признак перпендикулярности плоскостей работает через перпендикулярную прямую.