Расстояние от точки до прямой. Перпендикуляр и наклонная — тренажёр
Тренировка по теме «Расстояние от точки до прямой. Перпендикуляр и наклонная»: задачи с меняющимися числами, мгновенная проверка, подсказка и подробный разбор к каждой. Ниже — шпаргалка по теме, разобранные примеры и ответы на частые вопросы.
Тренировка
0/81 Из точки A к прямой m проведены перпендикуляр AP = 5 см и наклонные AB = 12 см и AC = 15 см. На сколько сантиметров сумма наклонных больше перпендикуляра?
Выбери ответ и нажми «Проверить». Подсказка рядом — пользоваться не стыдно.
Разбор примеров из тренажёра
11 задач из пула этого тренажёра с полной логикой решения: условие, подсказка, как решать и ответ. В самом тренажёре числа в каждой задаче обновляются от раунда к раунду — принцип решения остаётся тем же.
Пример 1. Из точки A к прямой m проведены перпендикуляр AP = 4 см и наклонные AB = 11 см и AC = 11 см. На сколько сантиметров сумма наклонных больше перпендикуляра?
Подсказка. Сначала сложи две наклонные, затем вычти перпендикуляр.
Как решать. Складываем наклонные и вычитаем перпендикуляр: 11 + 11 − 4.
Ответ: 18
Пример 2. Ширина реки между параллельными берегами равна 9 м. Пешеходный мост построен под углом к берегам, его длина 52 м. На сколько метров длина моста больше ширины реки?
Подсказка. Мост под углом длиннее перпендикуляра.
Как решать. Мост — наклонная, ширина реки — перпендикуляр между параллельными берегами: 52 − 9.
Ответ: 43
Пример 3. Могут ли две наклонные, проведённые из одной точки к прямой, иметь разную длину? Запиши да или нет.
Как решать. Могут: наклонные из одной точки равны только при равных проекциях, в остальных случаях их длины разные.
Ответ: да
Пример 4. Из точки A к прямой m проведены перпендикуляр AP = 2 см и наклонные AB = 15 см и AC = 15 см. На сколько сантиметров сумма наклонных больше перпендикуляра?
Подсказка. Сначала сложи две наклонные, затем вычти перпендикуляр.
Как решать. Складываем наклонные и вычитаем перпендикуляр: 15 + 15 − 2.
Ответ: 28
Пример 5. Ширина реки между параллельными берегами равна 17 м. Пешеходный мост построен под углом к берегам, его длина 59 м. На сколько метров длина моста больше ширины реки?
Подсказка. Мост под углом длиннее перпендикуляра.
Как решать. Мост — наклонная, ширина реки — перпендикуляр между параллельными берегами: 59 − 17.
Ответ: 42
Пример 6. Из точки A к прямой m проведены перпендикуляр AP = 3 см и наклонные AB = 14 см и AC = 14 см. На сколько сантиметров сумма наклонных больше перпендикуляра?
Подсказка. Сначала сложи две наклонные, затем вычти перпендикуляр.
Как решать. Складываем наклонные и вычитаем перпендикуляр: 14 + 14 − 3.
Ответ: 25
Пример 7. Ширина реки между параллельными берегами равна 14 м. Пешеходный мост построен под углом к берегам, его длина 38 м. На сколько метров длина моста больше ширины реки?
Подсказка. Мост под углом длиннее перпендикуляра.
Как решать. Мост — наклонная, ширина реки — перпендикуляр между параллельными берегами: 38 − 14.
Ответ: 24
Пример 8. Из точки A к прямой m проведены перпендикуляр AP = 5 см и наклонные AB = 9 см и AC = 12 см. На сколько сантиметров сумма наклонных больше перпендикуляра?
Подсказка. Сначала сложи две наклонные, затем вычти перпендикуляр.
Как решать. Складываем наклонные и вычитаем перпендикуляр: 9 + 12 − 5.
Ответ: 16
Пример 9. Ширина реки между параллельными берегами равна 18 м. Пешеходный мост построен под углом к берегам, его длина 57 м. На сколько метров длина моста больше ширины реки?
Подсказка. Мост под углом длиннее перпендикуляра.
Как решать. Мост — наклонная, ширина реки — перпендикуляр между параллельными берегами: 57 − 18.
Ответ: 39
Пример 10. Из точки A к прямой m проведены перпендикуляр AP = 4 см и наклонные AB = 10 см и AC = 15 см. На сколько сантиметров сумма наклонных больше перпендикуляра?
Подсказка. Сначала сложи две наклонные, затем вычти перпендикуляр.
Как решать. Складываем наклонные и вычитаем перпендикуляр: 10 + 15 − 4.
Ответ: 21
Пример 11. Ширина реки между параллельными берегами равна 20 м. Пешеходный мост построен под углом к берегам, его длина 53 м. На сколько метров длина моста больше ширины реки?
Подсказка. Мост под углом длиннее перпендикуляра.
Как решать. Мост — наклонная, ширина реки — перпендикуляр между параллельными берегами: 53 − 20.
Ответ: 33
Вопросы для повторения темы
Контрольные вопросы по «Расстояние от точки до прямой. Перпендикуляр и наклонная» с верными ответами и пояснениями — проверь себя до запуска тренажёра.
Вопрос 1. Из точки A к прямой m проведены перпендикуляр и две наклонные. Длину какого отрезка называют расстоянием от точки A до прямой m?
Ответ: перпендикуляра
Пояснение. Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра: это самый короткий из всех отрезков, соединяющих точку с прямой.
Вопрос 2. Сколько перпендикуляров можно провести из точки к прямой, если точка не лежит на этой прямой? Запиши число.
Ответ: 1
Пояснение. Из точки к прямой проходит единственный перпендикуляр, поэтому расстояние определяется однозначно.
Вопрос 3. Любая наклонная, проведённая из точки к прямой, длиннее перпендикуляра, опущенного из той же точки.
Ответ: Верно
Пояснение. В прямоугольном треугольнике наклонная — гипотенуза, перпендикуляр — катет, а катет короче гипотенузы.
Вопрос 4. Какие утверждения о расстоянии между параллельными прямыми верны?
Ответ: оно равно длине перпендикуляра между прямыми; оно одинаково, в какой бы точке его ни измерять
Пояснение. Расстояние между параллельными прямыми измеряют перпендикуляром, и он одинаков для всех точек: все точки одной прямой равноудалены от другой.
Вопрос 5. Проекции трёх наклонных, проведённых из одной точки к прямой, равны 3 см, 5 см и 9 см. Расставь наклонные по возрастанию длины.
Ответ: наклонная с проекцией 3 см → наклонная с проекцией 5 см → наклонная с проекцией 9 см
Пояснение. Из одной точки большая наклонная имеет большую проекцию: порядок длин повторяет порядок проекций.
Вопрос 6. Сопоставь термины темы «перпендикуляр и наклонная» с их описаниями.
Пояснение. Все три термина описывают одну картинку: точка, перпендикуляр к прямой и наклонная рядом с ним.
Вопрос 7. Расстояние между двумя параллельными прямыми равно 4 см. Точка M лежит на первой прямой. На каком расстоянии от второй прямой лежит точка M (в см)?
Ответ: 4
Пояснение. Все точки прямой, параллельной данной, равноудалены от неё, поэтому точка M удалена от второй прямой ровно на 4 см.
Настройте ритм перед экзаменом: задание дня по геометрии — новое каждый день.